Research on Chi-Square Statistics in Data Analysis of Inter-laboratory Comparison
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摘要: 卡方统计量是实验室比对数据处理的关键统计分析工具,可用于比对数据的一致性核验和参考值不确定度的估计。本研究在比对量具有相同期望及比对数据服从正态分布的条件下,提出了一种包含一般线性估计的卡方统计量,研究了该统计量的性质及分布。该统计量可以实现一般线性参考值估计的一致性检验和不确定度估计,为更广泛的线性参考值估计提供统计工具,可用于比对数据分析或多实验室定值测量。作为示例,针对算术平均值使用传统卡方检验需基于各实验室宣称相同不确定度的局限,对任意不确定度组合下的算术平均值给出卡方统计量,为这种常用线性参考值估计的扩展应用提供了新统计分析方法。Abstract: The chi-square statistics, which can be used in the consistency test of comparison results and the estimation of reference value uncertainty, is a key statistical tool in data analysis of inter-laboratory comparison. In this study, under the condition that the comparison results obey Gaussian distribution with a common mean, a chi-square statistic containing generalized linear estimation is proposed, and the properties and distribution of the statistic are investigated. The statistic enables consistency testing and uncertainty estimation of general linear reference value estimates, and provides a statistical tool for a wider range of linear reference value estimates, which can be used for comparison data analysis or multi-laboratory fixed value measurements. As an example, against the limitation of using the traditional chi-square test for the arithmetic means based on the same uncertainty claimed by each laboratory, this method gives the chi-square statistic for the arithmetic mean under any combination of uncertainties, providing a new statistical analysis method for the extended application of this common linear reference value estimation.
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0. 引言
实验室比对可以验证参加者的校准或测量能力,为测量结果的一致性提供证据[1]。基于国际计量互认协议,作为实验室比对的一种具体应用形式,关键比对及其数据统计方法近年来得到了极大的关注和研究。关键比对的最终结果为每个参加实验室的等效度,是各实验室获得校准与测量能力CMC准入的数据基础。而等效度的获得需要基于关键比对参考值及其不确定度,从而使参考值及其不确定度的分析方法成为研究热点。
参考值及其不确定度的分析方法种类繁多,常用的统计分析方法大致可分为线性估计方法、鲁棒性估计方法和贝叶斯方法[2],在线性估计方法中常用的参考值估计为不确定度权重平均值和算术平均值。其中,不确定度权重平均值在分析模型中的应用较为系统,大致分为一般模型(CMM)[3-4]、随机影响模型(REM)[5]和确定影响模型(FEM)[5-6]。由于CMM和REM均假设比对结果服从正态分布并具有相同期望,可从理论上得出不确定度权重平均值的卡方统计量在两种模型条件下均成立。此卡方统计量在CMM中用以检验比对数据的一致性:当检验成功时,即可使用CMM进行统计分析;当检验失败时,CMM失效,可采用REM进行分析。REM分析的核心是应用卡方统计量期望为确定值的性质估计随机影响方差。由此可见,卡方统计量是数据分析的核心统计工具。
然而,不确定度权重平均值的卡方统计量对于其他线性估计并不适用。关键统计工具的缺失,造成了算术平均值等其他线性估计难以应用CMM和REM展开系统性地分析,限制了线性估计作为参考值的应用。
本研究基于CMM提出了包含一般线性估计的卡方统计量,并通过理论分析和蒙特卡洛方法模拟研究了该统计量的统计性质和分布,得到该统计量可作为一般线性估计的统计分析工具,在CMM中检验比对数据的一致性,在REM中采用矩估计方法获得随机影响方差。作为示例,基于CMM和REM的分析思路,给出了新卡方统计量在算术平均值作为参考值估计时的比对数据分析步骤,为算术平均值扩展应用提供了新的统计分析方法。
1. 传统卡方统计量简介
CMM是一种基础模型。如果比对有
n 个实验室参加,所有实验室均提供了比对结果xi 及其标准不确定度ui ,且不同实验室的测量结果相互独立。CMM可表示为xi=μ+εi (1) 式中:
μ 为被测量;随机量εi 为第i 个实验室的测量误差且εi∼N(0,ui2) 。在该模型条件下,不确定度权重平均值xw=∑ni=1wi⋅xi 是参考值的一种比对数据线性估计,其中权重值wi=1ui2⋅(∑ni=11ui2)−1 。同时,对于xw 的n−1 阶卡方统计为χ2obs=∑ni=1(xi−xw)2ui2 (2) REM是在一般模型的基础上,为每个实验室加入了被忽视的、相等的随机性系统影响。REM可表示为
xi=μ+bi+εi (3) 式中:
bi 为随机性系统影响且bi∼N(0,τ2) ;τ 为随机影响的标准差。因此,第i 个实验室的不确定度u2(xi)=τ2+ui2 ,并以此得到不确定度权重平均值xREMw 。对于xREMw 的n−1 阶卡方统计量为χ2REM=∑ni=1(xi−xREMw)2u2(xi) (4) 在已知比对结果及不确定度的条件下,基于
χ2REM 并采用矩估计方法可对τ2 进行估计[8-9],具体方法有Mandel-Paule法[8, 10]和DerSimonian-Laird法[4, 8]:Mandel-Paule法使用迭代方式计算随机影响方差的无偏估计;DerSimonian-Laird法给出了随机影响方差的有偏估计,但不涉及数值计算。实验室间比对的线性参考值估计[11]表示为
xγ=∑ni=1γi⋅xi (5) 式中:
γi 为权重值,且满足0<γi<1 和∑ni=1γi=1 (i=1,⋯,n )。由于∑ni=1γi=1 ,可得E(xγ)=μ ,即xγ 为μ 的无偏估计。然而,在xγ 为非不确定度权重平均值时,采用xγ 替换xw 和xREMw ,则χ2obs 和χ2REM 都不服从卡方分布且分布没有明显规律[5]。此现象导致CMM和REM分析只适用于xw ,而不适用于非等不确定度数据的算术平均值和其他线性参考值估计。2. 线性估计的卡方统计量
由于权重值
γi 确定了线性估计,因此线性估计的分析就可变为权重值组合的分析。故此,将权重值组成向量,并记权重值向量为γ=(γ1,⋯,γn)T ,则γ 的基本取值空间为0<γi<1 且∑ni=1γi=1 。另外,记xw 对应的权重向量w=(w1,w2,⋯,wn)T ,记平均值ˉx 对应的权重向量a=(1/n,⋯,1/n)T 。基于
wi 的定义公式,式(2)可变形为χ2obs=(n−1)⋅∑ni=1wi⋅(xi−xw)2∑ni=1wi⋅ui2−∑ni=1wi2⋅ui2 (6) 将式(6)中的
wi 替换为γi ,并记该统计量χ2γ 为χ2γ=(n−1)⋅∑ni=1γi⋅(xi−xγ)2∑ni=1γi⋅ui2−∑ni=1γi2⋅ui2 (7) 式中:
i=1,⋯,n 。由于
ui2 的取值大小并不会对此随机变量的性质产生实质性影响,因此采用更简单的CMM模型来分析基本性质及分布。在CMM模型下,χ2γ 有以下性质:1)由于
xi=μ+εi 和xγ=μ+∑ni=1γi⋅εi ,可得xi−xγ=εi−∑ni=1γi⋅εi ,即xi−xγ 已将μ 的影响去掉,也就是μ 的取值不影响χ2γ 的分布。2)在
γ 取基本空间的任意确定点条件下都满足E(χ2γ|γ)=n−1 。证明如下:只将式(7)中的
xi (i=1,⋯,n )视为随机变量,对于第i个实验室γi 和ui 均视为常量。已有E(xγ)=μ ,则∑ni=1γi(xi−xγ)2=∑ni=1γi(xi−μ)2+(xγ−μ)2∑ni=1γi−2(xγ−μ)∑ni=1γi(xi−μ) 又有
∑ni=1γi=1 和∑ni=1γi(xi−μ)=xγ−μ ,得到∑ni=1γi(xi−xγ)2=∑ni=1γi(xi−μ)2−(xγ−μ)2 两边对实验室的测量结果取期望可得:
E(∑ni=1γi(xi−xγ)2)=∑ni=1γiE(xi−μ)2−E(xγ−μ)2 其中,
E(xi−μ)2=Var(xi)+(E(xi)−μ)2 E(xγ−μ)2=Var(xγ) 整理以上三式,并将
μ=E(xγ) 带入后,可得下式:E(∑ni=1γi(xi−xγ)2)=∑ni=1γi(E(xi)−E(xγ))2+∑ni=1γi⋅Var(xi)−Var(xγ) 在一般模型条件下,有
E(xi)=E(xγ)=μ 和Var(xγ)=∑ni=1γi2⋅ui2 ,带入上式得:E(∑ni=1γi(xi−xγ)2)=∑ni=1γi⋅ui2−∑ni=1γi2⋅ui2 (8) 由式(7)和式(8)易见
E(χ2γ|γ)=n−1 。3)在
γ=w 条件下,可得χ2γ|γ=w=χ2obs ,即χ2obs 是χ2γ 的一种特殊情况。4)在
γ≠w 条件下,χ2γ|γ 也有可能服从或近似服从n−1 阶卡方分布。例如,在
γ=a 的条件下,式(7)可变为χ2γ|γ=a=n⋅∑ni=1(xi−ˉx)2∑ni=1ui2 (9) 假设有4个实验室参加比对,测量结果都服从正态分布,提供的标准不确定度
ui 分别为1.4、2.0、1.6和1.8。采用蒙特卡洛方法分析χ2γ|γ 的分布情况。由于μ 不影响χ2γ 的分布,因此μ 在模拟过程中取值为0[7]。具体模拟步骤如下:
a)按照正态分布
N(0,ui2) 生成4个测量结果xi 的模拟样本序列,每个序列样本量为106;b)使用这些样本序列以及不同的权重值,分别按照式(6)和式(9)分别计算得到
χ2γ|γ=w 和χ2γ|γ=a 的样本序列;c)使用直方图法分别得到概率密度曲线。
由图1可见,两条模拟曲线与3阶卡方分布的概率密度曲线非常吻合,即线性估计
ˉx 或者权重向量a 也使χ2γ|γ 服从或者近似服从3阶卡方分布。由此可见,除不确定度权重值以外,对其他线性估计也可能存在卡方统计量。3. 模拟研究方法
为了进一步分析
γ 在基本空间中的哪些区域使χ2γ|γ 服从或近似服从n-1阶卡方分布,需要将第2节中的模拟步骤进行扩展,形成以下模拟步骤:1)按照正态分布
N(0,ui2) (i=1,⋯,n )生成每个测量结果xi 的模拟样本序列,每个序列样本量为105;2)在基本空间中生成一定量的
γ 样本点。为了避免γ 样本点在基本空间中的某些区域过少导致模拟分析结果不具有代表性,因此在基本空间中均匀地生成γ 样本点。然而,这并不意味着γ 在基本空间内服从均匀分布。具体的生成样本方法为:a)使用0到1的均匀分布生成
n−1 个不相等的数值且每个数值都不等于0或1,记为yi (i=1,⋯,n−1 );b)按照由小到大的顺序排列这组数值,记为
0<y(1)<⋯<y(n−1)<1 ;c)排列后的数值就将0到1分为了
n 份,每一份对应一个权重值,可得γ1=y(1)−0,⋯,γi=y(i)−y(i−1),⋯, γn=1−y(n−1) ,并将这组权重值记为γ 的一个样本。重复上述步骤a)到c)就可得到
γ 的样本序列。例如,当n=3 时,104 个γ 样本如图2中蓝色样本点所示,图中蓝色线所围成区域为γ 的基本取值空间。由图可见,按照此方法生成的γ 样本均匀的分布于基本空间。3)选取
γ 样本序列中的第一个样本S1 ,使用此样本和步骤1)中生成的所有xi 样本序列,由式(7)计算得到χ2γ|γ=S1 的样本序列,并采用直方图法得到其模拟概率密度曲线。将模拟曲线与n−1 阶卡方分布理论曲线进行比较,得到两条曲线偏差最大值和最小值的差值,记为D 。当D 小于某限值时,则认为χ2γ|γ=S1 服从或近似服从n−1 阶卡方分布。4)重复步骤3),逐个模拟分析
γ 样本序列中所有样本,并统计D 小于给定限值的γ 样本,则可认γ 在这些样本覆盖空间内取值条件下能使χ2γ|γ 服从或近似服从n−1 阶卡方分布,并将此子空间简记为卡方子空间。4. 模拟结果与讨论
4.1
n=2 的模拟结果此条件下,有
γ1+γ2=1 ,并式(7)可变为χ2γ|n=2=(x1−x2)2u12+u22 (10) 在CMM或REM中,由于比对结果
xi 服从正态分布,易见χ2γ|n=2 服从1阶卡方分布,而且不受γ 取值变化的影响。因此,γ 在全部基本空间内取值都能使χ2γ|n=2 服从1阶卡方分布。4.2
n⩾ 且各实验室不确定度相等的模拟结果此条件下,式(7)可变为
{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{u,n\geqslant 3}=\left(n-1\right) \cdot \frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{\gamma }_{i} \cdot \left({x}_{i}/u-{x}_{\gamma }/u\right)}^{2}}{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\gamma }_{i}-\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{\gamma }_{i}}^{2}} (11) 式中:
{x}_{i}/u\sim N\left(\mathrm{0,1}\right) ,i=1,\cdots , n 。此时,有
{{w}}={{a}} ,并且通过模拟可得:{{\gamma }} 在{{w}} 或{{a}} 周围的一个子空间内能够使{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{u,n\geqslant 3} 服从或近似服从n-1 阶卡方分布。以
n=3 时为例,将第3节中步骤1)改为按照N \left(\mathrm{0,1}\right) 生成{x}_{i}/u 的样本,并在步骤3)中按照式(11)计算得到{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{u,n\geqslant 3} 的样本序列。通过模拟发现,当D =0.088时模拟曲线与理论曲线偏离较小(图3a),可认为{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{u,n\geqslant 3} 近似服从n-1 阶卡方分布,故此限值取为0.09。按照此限值划分{{\gamma }} 样本构成的子空间(图3b),其中红色和绿色样本分别为D\leqslant 0.09 的样本和D>0.09 的样本,则{{\gamma }} 在红色样本占据的区域内使{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{u,n\geqslant 3} 服从或近似服从{\chi}_{2}^{2} 分布,即红色样本占据区域为卡方子空间,且此卡方子空间包含{{w}} 和{{a}} 。4.3
{{n}}\geqslant 3 的模拟结果此条件下,
{u}_{i}>0 (i=1,\cdots ,n ),各个{u}_{i} 可能相等,也可能不相等。通过模拟也可得到类似的结果:{{\gamma }} 在{{w}} 周围的卡方子空间内能够使{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}} 服从或近似服从n-1 阶卡方分布,而且卡方子空间的范围受到{u}_{i} 取值的影响。为了更加具体的分析,同样以
n=3 时为例,针对4种实际比对中可能出现的{u}_{i} 取值情况(表1),并采用第3节的模拟方法对卡方子空间进行了分析。通过4.2节已知可通过D 划分基本空间,而且模拟的目的是获得空间区域而非具体样本。因此,将第3节的步骤2)中生成样本的数量由{10}^{4} 降低为{3\times 10}^{3} ,以增加模拟效率。另外,在模拟过程中,D 的限值同样取为0.09。按照第3节中的方法,4种情况下的模拟结果见图4。在情况1时,3个参加实验室的不确定度相当,模拟得到卡方子空间区域较大且包含
{{w}} 和{{a}} ,如图4(a);在情况2至4时,三个参加实验室的不确定度有明显差别,模拟得到的卡方子空间较小且不包含{{a}} ,如图4(b)到图4(d)所示。由此例可知,在参加比对实验室测量能力相当时,卡方子空间范围更大且其中更有可能包含{{a}} 。序号 模拟条件 {u}_{1} {u}_{2} {u}_{3} 序号 模拟条件 {u}_{1} {u}_{2} {u}_{3} 1 {u}_{i} 数值大致相当 1.4 1.8 1.6 3 一个 {u}_{i} 数值很大 4.0 1.8 1.6 2 一个 {u}_{i} 数值很小 0.2 1.8 1.6 4 {u}_{i} 数值差异较大 0.5 1.8 3.5 由于第5节涉及到算术平均值的卡方统计
{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 的应用,采用第2节的中的模拟步骤,在表1的4种不确定度情况下,对{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 的密度曲线分别进行模拟,概率密度曲线模拟结果见图5。在情况1时,模拟密度曲线(绿色)与2阶卡方分布理论曲线(黑色)非常吻合,即{{a}} 处于卡方子空间内时,{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 服从或近似服从2阶卡方分布。在情况2至4时,3条模拟密度曲线(蓝色、蓝绿色、品红色)与2阶卡方分布理论曲线(黑色)有不同程度的偏离,即{{a}} 不处于卡方子空间内时,{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 不服从2阶卡方分布。然而,这3条曲线也具有相似的规律,它们都界于2阶卡方分布与1阶卡方分布的理论曲线之间。对更高维度情况进行模拟也可得到类似结论:当{{a}} 不处于卡方子空间内时,{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 的概率密度曲线界于n-1阶卡方分布与1阶卡方分布之间,具体曲线需要通过模拟获得。5. 应用示例
实际应用中,除不确定度权重平均值
{x}_{w} 外,常用的线性估计还有算术平均值\bar {x} [12]。本节将在CMM和REM条件下,对\bar {x} 的统计量{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 进行举例应用。5.1 CMM中检验数据一致性
假设有4个实验室参加比对,测量结果及不确定度见表2。
结果 实验室1 实验室2 实验室3 实验室4 {x}_{i} 9.5 13.9 7.2 11.6 {u}_{i} 1.4 2.0 1.6 1.8 应用统计量
{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 之前,需要通过第2节的模拟方法确认{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 服从或者近似服从n-1 阶卡方分布。由图1可见,在本例中统计量{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 服从或者近似服从3阶卡方分布。因此,本例中可应用{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 对\bar {x} 进行n-1阶卡方检验。依据式(9)及表2中的比对结果及不确定度,卡方统计量
{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 为8.384,此值大于3阶卡方分布的0.95分位点7.815。由此得到,本例中对\bar {x} 的卡方检验失败。5.2 REM中估计随机影响
在5.1节中的比对又加入两家实验室,测量结果及不确定度见表3(实验室5和实验室6)。
结果 实验室1 实验室2 实验室3 实验室4 实验室5 实验室6 {x}_{i} 9.5 13.9 7.2 11.6 13.5 8.7 {u}_{i} 1.4 2.0 1.6 1.8 0.1 2.5 在CMM条件下,基于表3中的不确定度,得到
{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 的模拟密度曲线如图6中绿色线所示。由于新加入的两个实验室不确定度与其他实验室不相当,导致{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 的密度曲线处于5阶和4阶卡方分布之间。基于式(9)和表3中的比对结果,得到{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 为12.178,大于通过模拟曲线得的0.95分位点12.073。因此,在CMM条件下,对于\bar {x} 的卡方检验失败。在REM条件下,每个实验室加入相等的随机影响
{b}_{i} 且{b}_{i}\sim N\left(0,{{\tau }_{a}}^{2}\right) ,因此每个实验室的不确定度变为{u}^{2}\left({x}_{i}\right)={{\tau }_{a}}^{2}+{{u}_{i}}^{2} 。以{u}^{2}\left({x}_{i}\right) 替代式(9)中的{{u}_{i}}^{2} ,得到REM中的统计量为{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}}=n \cdot \frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}-\bar {x}\right)}^{2}}{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({{u}_{i}}^{2}+{{\tau }_{a}}^{2}\right)} (12) 由第2节
{\chi}_{\gamma }^{2} 的性质2)可知E\left({{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}}\right)=n-1 ,采用矩估计法得到n \cdot \frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}-\bar {x}\right)}^{2}}{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({{u}_{i}}^{2}+{{\tau }_{a}}^{2}\right)}=n-1 (13) 得到
{{\tau }_{a}}^{2} 的估计公式为{{\tau }_{a}}^{2}=\frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}-\bar {x}\right)}^{2}}{n-1}-\frac{\displaystyle\sum\nolimits_{i=1}^{n}{{u}_{i}}^{2}}{n} (14) 基于式(14)及表3中的比对结果,得到
{{\tau }_{a}}^{2} 为4.311,并由此得到u\left({x}_{i}\right) (i=1\cdots 6 )为\left\{2.504,\;2.883,\; 2.621,\;2.748, 2.079, 3.250\right\} 。另外,基于此不确定度获得{{\chi}_{\gamma }^{2}|}_{{{\gamma }}={{a}}} 的模拟密度曲线如图6中蓝色线所示,可见其与5阶卡方分布非常吻合。6. 结论
卡方统计量是实验室比对线性参考值估计分析的重要统计工具,但传统的卡方统计量只适用于不确定度权重平均值和等不确定度时的算术平均值。本研究针对一般线性参考值提出了新卡方统计量,并采用理论分析和蒙特卡洛模拟研究了该统计量的性质和分布,得到:
1)当权重向量在卡方子空间内取值时,对应的线性参考值估计的卡方统计量服从或近似服从n-1阶卡方分布;
2)当权重向量在卡方子空间外取值时,对应的线性参考值估计的卡方统计量的概率密度曲线界于n-1阶与1阶卡方分布概率密度曲线之间,具体曲线可通过蒙特卡洛模拟获取;
3)在任意权重组合时,对应线性参考值估计的卡方统计量期望为n-1。
故此,基于CMM和REM,新提出的卡方统计量可用于所有线性参考值估计的比对数据一致性检验和随机影响方差估计,为更为广泛的线性参考值估计应用提供了统计分析工具。作为示例,针对算术平均值给出了新卡方统计量及扩展应用,为这种常用的线性参考值估计提供了新的统计分析方法。
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表 1
{u}_{i} 的4种情况(n=3 )Table 1 Four conditions of
{u}_{i} (n = 3)序号 模拟条件 {u}_{1} {u}_{2} {u}_{3} 序号 模拟条件 {u}_{1} {u}_{2} {u}_{3} 1 {u}_{i} 数值大致相当 1.4 1.8 1.6 3 一个 {u}_{i} 数值很大 4.0 1.8 1.6 2 一个 {u}_{i} 数值很小 0.2 1.8 1.6 4 {u}_{i} 数值差异较大 0.5 1.8 3.5 表 2 比对结果和不确定度(正态分布且
n=4 )Table 2 Comparison results and uncertainties (Gaussian distribution and n = 4)
结果 实验室1 实验室2 实验室3 实验室4 {x}_{i} 9.5 13.9 7.2 11.6 {u}_{i} 1.4 2.0 1.6 1.8 表 3 比对结果和不确定度(正态分布且
n=6 )Table 3 Comparison results and uncertainties (Gaussian distribution and n = 6)
结果 实验室1 实验室2 实验室3 实验室4 实验室5 实验室6 {x}_{i} 9.5 13.9 7.2 11.6 13.5 8.7 {u}_{i} 1.4 2.0 1.6 1.8 0.1 2.5 -
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