0.   引言

变压器是最为基础的电学设备之一，广泛应用于工、农、商、学、兵各个行业领域^[1-5]，尤其在电力系统输配电、高端仪器仪表制造以及电量精密测控等方面发挥巨大的作用^[6-11]。变压器按照其主要应用场景划分为电力变压器、仪用变压器以及有特定用途的高压试验变压器、特种变压器等等。其中电力变压器是国家电网各个变电站节点中最为重要与核心的，负责实现电能变换与传输的关键基础部件之一；仪用变压器主要应用于基本电参量的测量、继电保护和电路控制等，是高校、科研机构、仪器仪表制造商等必不可少的配备装置。

随着人类文明的发展，人类对赖以生存的能源利用率的隐忧，对精准计量世界的决心以及测量控制技术高质量发展的渴求不断凸显出来。我国经济与科技发展日新月异，电能需求量随之日益加剧，虽然电力输配电系统不断发展壮大，但电能输配送中损耗问题不容小觑，输配送效率提升空间潜力仍然不小，而其中单是电力变压器损耗在我国输配电电力能源损耗中就竟高占40%，为了提升能源利用效率，推动绿色低碳和高质量发展，2021年1月，我国工信部、市监局、能源局联合制定了《变压器能效提升计划（2021-2023年）》，大力推广与支持高效节能型变压器产品及技术；仪用变压器常作为基本元器件或基础模块部件被应用于测控技术与仪器制造中的各种电气电路中，其变压精准度是非常重要的技术指标^[12-13]。由此可见，这两种最常见类型的变压器都有着向高效节能、高线性度、高准确度发展的必要性 ^[14-16]。

以优化改良变压器准确度与利用效率为目的，本文提出了变压器绕组及绕组间分布式寄生电容（匝间电容）劣化其变压精准度的问题，分析了其主要导致原因并推理计算了其影响量，提出了变压器匝间电容消除及频率特性改良的方法。在此基础上提出了变压器线圈负电容生成方法的电路设计，并利用电路仿真验证了电路设计的科学合理性，最后通过普通电压器与本文技术改良后变压器的实测电压变换比对试验数据验证了本文所提技术方法与设计的正确有效性。

1.   变压器的变压精准度问题分析

变压器是利用电磁感应原理来改变交流电压的装置，其主要结构包括初级线圈、次级线圈和铁芯。当初级线圈上施加交流电，变压器铁芯产生交变磁场，次级线圈产生感应电动势。正常工作中变压器二次侧负载阻抗应该相当大，二次侧相当于开路运行。理想变压器的原理示意图如图1所示。

图  1  理想变压器原理示意图

Figure  1.  Schematic diagram of an ideal transformer

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理想情况下，变压器的二次侧输出电压满足公式（1）。

式中，${U_1}$、${U_2}$分别为理想变压器一次侧输入电压与二次侧输出电压；${N_1}$、${N_2}$分别为初级与次级线圈匝数；$\theta$为初级线圈施加交流电在变压器铁芯中产生的磁通。

利用变压器的变比显然是一个较好的分压方法，可以通过调节初级与次级线圈绕组匝数比来实现比例升压与降压。然而图1是一个理想变压器的模型，实际使用的变压器由于其绕组线圈以及初级、次级绕组线圈之间不可避免存在绕组阻抗和寄生电容，变压精准度受到影响。图2是变压器存在绕组电阻和寄生电容的二次测绕组等效电路图，变压器工作时，寄生电容将在二次侧产生分流现象，通过绕组线圈中等效电阻对输出侧电压造成误差影响。

图  2  变压器二次绕组等效电路

Figure  2.  Equivalent circuit of the transformer secondary winding

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根据图2所示，二次侧其实际输出电压表达式为：

式中，${U_{\rm out}}$为模型中变压器二次侧实际输出电压；${i_{\rm coil}}$为流过二次侧线圈内阻的总电流；${R_2}$为二次侧线圈的等效内阻。

电容产生的容抗可表达为式（3）。

式中，${R_{C_2}}$为寄生电容产生的容抗；$f$为交流信号的频率；${C_2}$为寄生电容。

因此，电容上通过的电流可计算为：

式中，${i_{\rm{c}}}$为寄生电容上通过的电流。

图2中，又满足下式：

式中，${i_2}$为变压器二次侧实际负载电流。

变压器测量会忽略寄生电容的影响，将${i_2}$误认为是通过线圈总内阻的电流，于是实际测量结果为式（6）。

式中，${U'_{\rm out}}$为变压器二次侧感应电压实际测量结果。

于是可以得到测量误差为：

式中，$\Delta {U_{\rm out}}$为变压器二次侧感应电压测量误差。

将式（2）、式（5）、式（6）代入式（7），可得到：

令$f = 1\;{\rm{kHz}},\;{R_2} = 20\Omega ,\;{C_2} = 30\;{\rm{nf}}$，代入上式可计算：

大约有0.377%的误差影响量，而这个影响量在10⁻⁶级别的精密仪器设计中是不能忍受的。因此如果不留意绕组电容及自身阻抗的影响，将很可能产生如此大甚至更大的误差影响量，绝对不可忽略。为了减少该误差，必须对变压器优化改良设计，尽可能消除绕组中寄生电容的影响，提高变压器传递与转换交流电压的精准度。

2.   匝间电容影响消除及频率特性改良方法

为了方便讨论分析变压器绕组以及绕组之间的寄生（分布式）电容（匝间电容）的相互影响关系，我们建立了一个环形铁芯上紧密绕制三个绕组L₁、L₂、L₃的电路模块,其匝数分别为N₁、N₂、N₃，其产生的等效寄生电容分别是C₁、C₂、C₃。假设暂时不考虑漏感影响，使用相对磁导率 >10⁶的漏感影响可忽略不计的纳晶、微晶软磁材料。变压器绕组的等效分析模型如图3所示。

图  3  寄生电容性绕组等效分析模型

Figure  3.  Equivalent analysis model of the parasitic capacitive winding

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为了研究分析L₂、L₃绕组中的电容对L₁绕组的影响，假设给L₁绕组一个激励V₁，将在磁芯中形成磁通$\theta$，假设C₂形成的电流${i_{C_2}}$在磁芯中的磁通贡献量为${\theta _2}$，于是有：

式中，${\theta _2}$为L₂绕组感应电流在磁芯产生的磁通量；$u$为磁芯相对磁导率；$S$为磁芯横截面积；${i_{C_2}}$为L₂绕组感应电流；$\omega$为角频率；${C_2}$为L₂绕组寄生电容。

而单独分析${\theta _2}$，其会在L₁绕组上产生电流${I_{{\theta _2}}}$，在一次侧满足：

式中，${I_{{\theta _2}}}$为${\theta _2}$在L₁绕组上产生的电流；${C_{{\theta _2}}}$为因L₂绕组寄生电容影响，折算到L₁绕组上等效产生的电容。

由式（10）、式（11）可以得到：

从上述分析中可以得知，因为有L₂绕组上寄生电容${C_2}$的影响，将在磁芯中产生不期望的磁通${\theta _2}$，相当于模型中L₁绕组附加一个折算过来的等效寄生电容${C_{{\theta _2}}}$产生的影响。理论上如果要消除磁通${\theta _2}$的影响，只需要在磁芯中增加一个“$- {\theta _2}$”的磁通。而在L₁绕组中添加一个“$- {C_{{\theta _2}}}$”负电容即可实现完全消除L₂绕组上寄生电容${C_2}$对变压器合理准确变压的影响，相当于等效消除了L₂绕组上寄生电容，同理可等效消除L₃绕组上寄生电容和L₁绕组上本身的寄生电容。

在图3所示的绕组中，L₁绕组上等效的全部寄生电容可计算为：

式中，${C}_{{L}_{1}\_\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}$为L₁绕组上自身寄生电容加上L₂与L₃绕组上寄生电容折算到L₁绕组上的全部等效寄生电容。

假设所有绕组所使用绕线材质相同，则满足$\dfrac{{{L_2}}}{{{L_1}}} = {\left( {\dfrac{{{N_2}}}{{{N_1}}}} \right)^2}$与$\dfrac{{{L_3}}}{{{L_1}}} = {\left( {\dfrac{{{N_3}}}{{{N_1}}}} \right)^2}$。因此图3绕组中L₁绕组工作中的谐振频率为：

式中，${f_{{L_1}}}$为L₁绕组工作中的谐振频率。

假设L₁、L₂、L₃绕组上匝数比为1∶2∶4，其电感分别为1 mH、4 mH、16 mH，而其寄生电容分别为0.1 μF、0.2 μF、0.1 μF，代入式（14），计算到谐振频率为3.183 kHz。将电路通过仿真软件分析，得到的结果如图4所示，与计算结果一致。

假如不改变任何其他参数，将同样的交流电压激励分别接入L₂、L₃绕组，通过仿真软件测试其分别的谐振频率如图5所示，仿真结果表明L₁、L₂、L₃绕组的谐振频率点都为3.183 kHz，结果一致。

接下来在仿真电路中，我们以测L₂绕组的谐振频率电路为基础，在L₁绕组测加入一个等效负电容${C_4} = - {C_{{\theta _2}}}$继续进行仿真试验，仿真电路与仿真结果分别如图6与图7所示。

仿真结果显示，L₂绕组的谐振频率点消失，验证了在任一绕组上按照计算公式布置方向为负的等效“消除电容”，就能消除所有绕组上寄生电容的影响。实际上，由于电子元器件及电路的非绝对理想性，负电容并无法完全消除，谐振频率点也并不是被消除，而是当匝间电容被“消除”趋近于无限小，变压器自谐振频率点趋于无限大。换言之，谐振频率点将移至更高频区域，远离正常工作频率范围。因此文中提出的升级改良变压器，其实是改变了变压器的频率特性，提高了其变换电压的准确度，将其调整为最有利本文设计所需的足够理想电压传递与变换器件。

图  4  L₁绕组谐振频率测试仿真图

Figure  4.  Simulation results of L₁ winding resonance frequency test

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图  5  L₂与L₃绕组谐振频率仿真测试图

Figure  5.  Simulation setups and results of resonant frequency of L₂ and L₃ windings

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3.   线圈负电容生成方法的电路设计

以上讨论的是理论上通过添加“消除电容”（负电容）来优化改良变压器频率特性及精准性的方法，然而真正意义上的“负电容”是现实不存在的。在实际设计中实现等效为变压器绕组添加负电容的电路图如图8所示。

假设图8中信号端输入电压为${V_{\rm in}}$，根据电路原理，有如下表达式：

式中，${Z_{\rm in}}$为电路对地输入阻抗；${{{R_5}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{R_5}} {{R_4}}}} \right. } {{R_4}}} = 1$；${C_5}$为电容；${Z_{{C_5}}}$为电容${C_5}$的容抗；$F$为电路工作频率。

图  6  添加负电容的仿真电路图

Figure  6.  Simulation circuit diagram of adding negative capacitance

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图  7  添加负电容的测试仿真图

Figure  7.  Simulation results of adding negative capacitance

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图  8  负电容生成电路图

Figure  8.  Negative capacitance generation circuit

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该电路如果整体视作一个元器件，相当于在正负端等效生成为一只“$- {C_5}$”的电容，即实现了负电容的等效生成。

为了验证变压器消除电容生成方法的正确性与可行性，设计了如图9所示的电路仿真试验，仿真电路中的各个重要元器件取值已在图中标识。首先在交流标准电压激励下，在“P_in”点测试原始电路的谐振频率，如图9(b) 所示，可以发现一个明显的谐振频率点；然后将“负电容生成电路”按照图9(c) 所示接入有寄生电容的次级线圈L₃，仿真结果图（如图9(d)） 表明谐振频率点消失，验证了负电容生成电路能实现寄生电容影响因素的消除。

基于之前分析，关于电路中“负电容”的电容值选择，可以通过各种成熟的科学方法先对变压器的自谐振频率点进行精确测试，然后在某一绕组例如初级绕组上，计算绕组等效总寄生电容的容值，或者通过文献[17]、[18]等方法计算匝间寄生电容值，最后选择等电容值或尽量相等电容值的电容如图8中所示，修改应用到初级绕组上，即可实现变压器频率特性的改良与精准度优化。

变压器的正常工作特性要求输出端阻抗足够大，因此通常变压器二次侧的负载输出对象或测试设备接入的输入电阻都相当高，高达$G\Omega$（10⁹$\Omega$）甚至更高级别，以1V的输出电压为例，输出端负载电流影响量完全可以控制在$1{0^{ - 9}}$以内，对电压输出的影响忽略不计。有些变压器实际设计中为了安全、功能以及精准度的考虑，也有在电压输出端口前添加一级驱动的做法，例如使用超高阻抗的运算放大器进行缓冲，负载电流影响可忽略，但是引入的运算放大器会带来失调电压V_os，对输出信号精准度产生新的负面影响，目前超低失调电压的运算放大器的最高水准大致在0.3～3 μV的范围内，以3 μV为例，其相对于1V的电压输出已经有$3 \times 1{0^{ - 6}}$的误差，这仍是不可忽略的，因此对变压器优化改良设计除了消除寄生电容的主要影响，消除运放失调电压的次要影响也是必要的。目前已有很多失调电压的补偿或消除方法，可以将输出误差控制在远小于$1{0^{ - 6}}$的级别，本文不再赘述。

4.   比对测试试验

为了直观验证频率特性调整后的变压器在工作频率范围内电压传输精准度的修复提升效果，设置了如下比对测试试验如图10所示。现场验证测试试验图如图11所示。

图10、11中选择的变压器为匝数比为1∶1的等比例变压器，经测试其自谐振频率为1.06 kHz。按照如下步骤进行比对测试试验：

第一步，调节Fluke 5700A输出（10 V，1 kHz）；

图  9  集成负电容生成电路的改造电路谐振频率测试图

Figure  9.  Test setups and results of resonant frequency of modified circuit of integrated negative capacitance generation circuit

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图  10  比对测试试验示意图

Figure  10.  Schematic diagram of a comparison test

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图  11  现场验证测试试验图

Figure  11.  Field verification

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第二步，利用Agilent 3458A校准Fluke 5700A，微调后者，使前者的测量显示值稳定在10.00000V；

第三步，将该校准稳定后信号输入至变压器初级，用Agilent 3458A记录变压器输出连续测量10次的平均值；

第四步，启动基于变压器负电容生成功能的电路模块，用Agilent 3458A重新测量改良后变压器的10次连续测量值取平均值。

根据第三步的数据，计算得到的10次测量平均值为9.98324V，与输入信号相比的相对测量误差为$1.68 \times {10^{ - 3}}$；第四步计算得到的平均测量值为9.99913V，与输入信号相比的相对测量误差为$8.7 \times {10^{ - 5}}$。结果表明频率特性改良后的变压器的传递误差缩小了近20倍，准确度优化提高了一个数量等级，试验结果符合预期，证明本文提出的变压器频率特性改良与准确度提升方法的正确有效性。

5.   结论

变压器的电能传递损耗和电压变换准确度一直是值得研究的问题，本文研究了匝间电容对变压器电压变换准确度的影响，利用电路仿真测试验证了提出的变压器频率特性改良与变压精准度优化设计的合理有效性，提出了变压器线圈等效负电容生成电路设计，并通过现场比对验证试验验证了本文所提技术方法与设计的正确有效性。建议变压器研发工作者将此技术方法作为考虑点列入变压器性能提升的整体设计方案中，针对不同型号、用途与应用场景的变压器进行频率特性调整改良与准确度优化。