0.   引言

现代空间探测及微纳制造等研究领域，对微牛级力值的测量提出了高分辨率和高准确度的要求^{[1 − 5]}。例如，空间飞行器的离子推进器在姿态控制、轨道维持与转移等任务中发挥着重要作用，其微推力的范围通常在1～500 μN之间，测量不确定度需要达到E-5量级^{[6 − 8]}。MEMS（Micro-Electromagnetical Systems）技术广泛应用在微型机器人、智能医疗设备和便携电子产品中，其内部元件接触力的范围通常在1~100 μN之间，由于内部元件极易损坏因此要求测量不确定度需要达到E-6量级^{[9 − 11]}。原子力显微镜（Atomic Force Microscopes, AFMs）广泛应用于微纳结构表面形貌和特征参数的测量，为了提高测量精度，要求用于探针微悬臂刚度校准的微牛级力值范围在10～500 μN，不确定度小于E-4量级^{[12 − 15]}。传统的力值计量需要将测量结果溯源至国际单位制标准中的质量实物基准，由于千克（kg）砝码实物基准向毫克（mg）量级砝码分量传递时相对不确定度会增大2500倍，导致微牛级力值溯源至kg砝码实物基准的不确定度只能达到E-3量级，无法满足以微型化、智能化和数字化为代表的未来高质量工业发展对微牛级力值计量的需求^{[16 − 18]}。因此，采用基于静电力天平原理的微牛级力值计量方法可将力值转化为已量子化的长度、时间和电荷等基准，摆脱力值测量与溯源对实物砝码的依赖，实现微牛级力值向普朗克常数（h）的直接溯源，使其测量不确定度可由现有的E-3量级突破至E-5量级甚至更高^{[19 − 20]}。

目前，国外主要有美国标准技术研究院（National Institute of Standards and Technology, NIST)^{[21 − 23]}、英国国家物理实验室（National Physical Laboratory，NPL）^{[24 − 25]}和德国联邦物理技术研究院（Physikalisch-Technische Bundesanstalt，PTB）^{[26 − 27]}等分别基于圆柱形电容器、平行电极板和平行电极圆盘开发微牛级力值计量装置，总体已经可以实现微牛级力值的精准测量，并将测量不确定度控制到E-5量级。国内主要有天津大学和中国计量科学研究院开发的基于圆柱形电容器的微牛级力值计量装置，目前在10～100 μN范围内可将力值测量不确定度控制到5.8E-4 ^{[28 − 29]}。但是由于用于支撑内电极铅垂方向运动的柔性枢轴结构刚度过大，导致计量装置力值分辨力不足，限制了提升微牛级力值计量装置测量准确度的能力。此外，现有的圆柱内、外电极校准方法是根据高分辨率的静态图像应用机器视觉的方法，从外部对圆柱电极的相对空间位姿进行测量，此方法对电极的加工精度、光学镜头的分辨力和实验装置的空间布局都有很高的要求，因此无法保证圆柱电极的空间位姿校准精度。因此，本文通过对柔性枢轴系统轴承结构和圆柱形电容器内、外电极同轴度校准方法的优化，基于静电力天平原理设计搭建了一套微牛级力值计量装置，成功实现了将微牛级力值测量结果不确定度控制到E-5量级的目标。

1.   测量原理

基于静电力天平原理的微牛级力值测量装置简图如图1所示。圆柱形电容器的外电极固定在支撑底座上，内电极通过四边形柔性枢轴结构悬停在外电极中，砝码加载后内电极可沿外电极轴线的铅垂向运动，差分激光干涉仪用于测量内、外电极的相对运动位移量。扫描开关用于切换电容测量模式和电压加载模式，在电容测量模式中，内、外电极与电容电桥的测量端相连接，用于实时测量电容值的变化量。在电压加载模式中，内、外电极与电压源的输出端相连接，通过在电极两端加载电压可产生静电力使内电极沿着铅垂向运动。圆柱形电容器产生的静电力F_e可用式（1）表示^[21]。

图  1  静电力天平测量装置简图

Figure  1.  Schematic of the electrostatic force balance measurement device

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式中，${\rm{d}}C/{\rm{d}}z$表示电容器在铅垂方向的电容梯度；V表示加载在圆柱形电容器内、外电极的电势差。从上式可以发现，使用静电力天平进行微牛级力值测量时，首先需要对圆柱形电容器的电容梯度进行测量。通过纳米级精度驱动平台推动外电极在零点位置附近沿着铅垂方向做往复运动，使用电容电桥和激光干涉仪分别测量电容信号与位移信号的变化量，通过最小二乘法拟合得到电容器的电容梯度。然后，切换扫描开关线路将电压源与圆柱形电容器内、外电极相连接，将位移信号作为PID控制系统中的反馈信号，使得砝码加载前、后电容器内、外电极在铅垂向的相对距离保持不变，此时电压源加载至内、外电容器两端的电压将不同，通过式（2）就可以计算出砝码的力值F_w。

式中，V_U和V_L表示砝码加载前、后电容器内、外电极的电势差。

静电力天平装置中四边形柔性枢轴结构的三维图如图2所示。为了降低柔性枢轴结构在运动过程中内部的摩擦力和蠕变，并提高静电力天平的力值灵敏度，使用簧片型柔性轴承作为四边形柔性枢轴系统中各杆件的连接件。根据虚功原理，假设柔性枢轴结构中除柔性轴承外其余杆件均为刚体，机构变形所产生的弹性应变能等于每个柔性轴承产生的弹性应变能总和，因此四边形柔性枢轴系统的刚度k可用式（3）计算^[30]。

图  2  静电力天平装置中四边形柔性枢轴结构三维图

Figure  2.  3D diagram of quadrilateral flexible pivots structure in the electrostatic force balance device

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式中，l表示力值加载点与四边形柔性枢轴运动中心之间的水平距离；k_f表示单个柔性轴承的刚度；n表示系统中柔性轴承的个数。为了提高力值计量装置的灵敏度，需要使力值加载点远离柔性枢轴运动中心并且降低单个柔性轴承的刚度。但是过大的l会导致微牛级力值计量装置中杆件的热变形与蠕变增加，因此可通过降低单个柔性轴承的刚度来提升微牛级力值计量装置的力值分辨力。

电容梯度表示的是圆柱形电容器的电容量相对于内、外电极位移量的变化幅度，通常以力值测量实验前后两次电容梯度的平均值作为砝码重力的计算参数。理想情况下，电容梯度由内、外圆柱电极的半径与中间填充物质的介电常数共同决定，但是由于制造和装配误差的影响，导致内、外圆柱电极半径沿法向不等，存在的径向偏移量与倾角会影响电容值，最终在电容梯度的测量结果中引入偏差，因此需要在测量前校准圆柱形电容器的空间位姿。圆柱电容器偏移量e和倾角θ对电容梯度的影响可以分别用式（4）和式（5）来表示。

式中，R₁和R₂分别表示圆柱电容器内电极的外圆半径和外电极的内圆半径；$\varepsilon$表示空气的介电常数。图3表示理论上圆柱内、外电极径向偏移量与倾角对电容梯度的影响。可以发现，任意微小的径向偏移量和倾角都将使得电容梯度的测量值增大，当圆柱电容器的内、外电极同轴时，电容梯度的测量值最小。因此实验中可采用外电极固定，通过在水平方向移动内电极将电容值降低至最小值的方式校准圆柱内外电极的同轴度，保证电容梯度的测量准确性。

图  3  内、外电极径向偏移量和倾斜角对电容梯度的影响

Figure  3.  Influence of radial offset and tilt angle of inner and outer electrodes on capacitance gradient

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2.   测量实验装置搭建

根据测量原理搭建微牛级力值实验装置，装置主体使用7075铝合金制造，表面镀层处理防止氧化腐蚀。圆柱形电容器的电极材料采用6061铝合金制造，内电极的内、外径分别为18 mm和20 mm，外电极的内、外径分别为21 mm和23 mm，表面粗糙度小于10 nm。柔性轴承采用Riverhawk公司的5004-800系列产品，标称刚度为0.0013 N/m。电容电桥采用Andeen-Hagerling公司的AH-2700A。差分激光干涉仪采用Renishaw公司的单轴差分RLE20 DI激光系统。电压源采用Keithley公司的高精度数字源表 SourceMeter 2410。根据测量原理，开发用于电容梯度测量与力值测量的自动控制程序，可以完成微纳驱动平台的控制，砝码的自动加卸载，PID控制中电压的自动加卸载，测量数据的计算和保存等功能。搭建的微牛级力值测量装置如图4所示，为了消除电容器表面电势对力值测量结果的影响，在单次力值测量实验中采用正、负电压循环加载的方式测量力值。完成测量光路的校准后，可以得到内、外电极的相对位移信号，通过导线连接圆柱电容器至电容电桥可以测量得到电容信号，位移信号和电容信号在2小时内噪音实验结果如图5所示。位移信号的噪音为1.25 μm，线性漂移小于10 nm， 电容信号的噪音为0.001 pF，线性漂移小于2E-6 pF，满足实验测量要求。用于实验测量的E2级10 mg砝码和实验室所在地的重力加速度校准结果如表1所示。

图  4  静电力天平装置实物图

Figure  4.  Physical model of the electrostatic force balance device

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图  5  激光干涉仪与电容电桥的稳定性实验结果

Figure  5.  Experimental results on the stability of laser interferometer and capacitance bridge

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表  1  10 mg砝码质量与重力加速度的校准结果

Table  1.  Calibration results of 10 mg weight with gravitational acceleration

砝码质量	重力加速度	重力值
10.0019 mg	9.8012 m/s2	98.0306 μN

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3.   力值测量实验结果与分析

3.1   电容梯度的测量

圆柱形电容器同轴度校准结果如图6所示，可以发现随着横向位移的变化，电容值表现出先降低后升高的变化规律，在两个电极轴心偏移量最小时电容值最小，实验结果和理论计算结果相符，因此可根据电容器特性完成电容器水平位姿的校准。然后，在72小时内对静电力天平零点位置附近的电容梯度进行3次独立的测量，每次连续测量160次，外电极运动范围为±100 μm，单步距离为50 μm，实验结果如图7所示。图7（a）表示24小时内连续测量160次的电容梯度分布图，电容梯度在区间内呈现均匀分布的态势，平均值为1.1277E-3 pF/μm，标准差为2.44E-7 pF/μm，相对标准差为1.72E-5；图7（b）表示三次独立测量的电容梯度平均值和标准差。可以发现在零点位置附近，电容梯度72小时内测量结果呈现较好的一致性，表明现有的实验装置中电容梯度的测量准确度和重复性满足实验要求。

图  6  圆柱形电容器同轴对准结果

Figure  6.  Results of cylindrical capacitor coaxial alignment

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图  7  电容梯度的分散性与重复性实验结果

Figure  7.  Experimental results on dispersion and repeatability of capacitance gradient measurements

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3.2   力值的测量

本次实验中使用10 mg砝码的加卸载来测试微牛级力值计量装置在铅垂向的刚度，实验结果如图8所示。在10 mg砝码的重力作用下，内电极在铅垂向产生了175.852 μm的位移，刚度测量结果（0.557 N/m）接近理论值（0.615 N/m），偏差的原因是由单个柔性枢轴的刚度存在偏差导致的。力值测量实验中为了消除电容器表面电势对力值测量结果的影响，采用正、负电压循环加卸载的力值测量模式，单次力值测量中电压信号变化量与相应的位移信号变化量如图9所示。

图  8  静电力天平的刚度测量结果

Figure  8.  Measurement results of stiffness in the designed electrostatic force balance

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图  9  力值测量实验中电压控制模式和相应的位移变化

Figure  9.  Voltage-controlled mode and corresponding displacement variation in force measurement experiment

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根据实验要求完成控制程序的开发后，在24小时内对10 mg砝码的力值进行了30次的连续测量，实验结果如图10所示。

图  10  30次连续测力实验结果

Figure  10.  Results of 30 consecutive force measurement experiments

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力值测量结果平均值为98.1321 μN，标准偏差为0.0341 μN。测量结果相比砝码的实际力值大约0.1029 %，大于力值测量不确定度的范围，可能的原因是连接圆柱内电极的导线安装方式不当产生的微小力值影响了砝码的重力测量结果，将会在今后的实验中对这一部分进行改进。根据实验测量结果，10 mg砝码的测量不确定度如表2所示。可以发现，通过对实验装置的改进，可以将微纳力值测量结果的相对标准不确定度控制在7.09E-5。

表  2  10 mg砝码力值测量不确定度

Table  2.  Uncertainty budget in the measurement of 10 mg weight force

不确定度来源	类别	不确定度分量
电容电桥	B	5.00E-7
激光干涉仪	B	1.00E-8
电压源	B	2.50E-5
力值分辨力	B	7.20E-6
电容梯度重复性	A	1.72E-5
同轴度	B	1.25E-5
力值重复性	A	6.24E-5
10 mg砝码力值测量的合成标准不确定度（k=1）		7.09E-5

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4.   结论

随着力值溯源体系从实物基准逐渐转变为量子基准，使得微牛级力值的测量结果直接溯源至普朗克常数成为可能，将极大的提升微牛级力值的测量准确度。本文针对静电力天平的研究中柔性枢轴系统在铅垂方向刚度过大和圆柱形电容器同轴度校准困难的问题，设计了用于静电力天平的四边形柔性枢轴结构，并根据电容特性提出了圆柱形电容器的同轴度校准方法。实验结果表明，采用新的方法可将柔性枢轴结构在铅垂方向的刚度降低至0.557 N/m，圆柱形电容器同轴度误差控制在±3 μm。同时，10 mg砝码的力值测量结果表明搭建的静电力天平装置可将微牛级力值测量结果的不确定度控制在E-5量级。在下一步的研究中将会改善连接内电极导线的固定方式，降低砝码重力的测量误差，同时对1～500 μN范围内力值测量的准确性和重复性进行实验验证。