A High-Accuracy Direction of Arrival Measurement Method for Millimeter-Wave Radar Based on a Fast Iterative Adaptive Algorithm
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摘要:
迭代自适应算法(Iterative Adaptive Algorithm, IAA)是一种超分辨算法,广泛用于毫米波雷达波达角(Direction Of Arrival, DOA)的高精度测量之中。然而,传统的IAA存在算法复杂、计算结果迟滞的问题,难以适用于对实时性要求较高的场景。此外,为了解决信源位置与网格字典不匹配而导致角度测量误差较大的问题,常采用网格细化的方法,这将进一步加剧IAA计算缓慢的问题。针对上述问题,提出了一种快速迭代自适应算法(Fast Iterative Adaptive Algorithm, FIAA)。FIAA采用粗细网格分次测量信源角度。首先在全空域内进行粗网格划分并使用IAA计算出真实信源的潜在区域,然后在信源潜在区域内进行细网格划分并更新信号方向矩阵,最后使用具有正则化协方差矩阵的IAA对信源角度进行高精度测量。实验结果表明, FIAA可以有效避免对非信源潜在区域的扫描与计算,计算耗时至少降低为IAA的4%,并在信噪比高于0dB时与IAA的计算精度基本一致,适用于高实时、高精度的毫米波雷达波达角测量场景之中。
Abstract:The Iterative Adaptive Algorithm (IAA) is a super-resolution algorithm widely applied for high-accuracy direction of arrival (DOA) measurements in millimeter-wave radar systems. However, traditional IAA faces challenges such as algorithmic complexity and computational delays, rendering it unsuitable for real-time applications. Additionally, to mitigate angle estimation errors caused by mismatches between the source locations and the grid dictionary, grid refinement is commonly employed, further exacerbating the slow computational performance of the IAA. To address these issues, this paper proposes a Fast Iterative Adaptive Algorithm (FIAA). The FIAA utilizes a hierarchical grid refinement approach to iteratively estimate source angles. Initially, a coarse grid is applied over the entire spatial domain, identifying potential areas of the actual source locations using IAA. Subsequently, in these identified regions, a refined grid division is applied, and the signal direction matrix is updated. Finally, the IAA, incorporating a regularized covariance matrix, is utilized to achieve high-accuracy angle measurements. Experimental results show that FIAA effectively avoids scanning and computations in non-signal regions, reducing computational time to as little as 4% of the IAA, while maintaining comparable accuracy when the signal-to-noise ratio (SNR) exceeds 0dB. This approach is well-suited for high real-time and high-accuracy millimeter-wave radar DOA measurement scenarios.
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0. 引言
毫米波雷达具有全天候、全时段、穿透力强、不受雨雾黑夜等恶劣天气影响的优点[1 − 2],因而在智能驾驶[3]、智慧家居[4]、医疗健康[5]等方面脱颖而出。获取目标的到达角度作为毫米波雷达目标探测的重要一环,吸引了许多学者对其展开研究[6 − 7]。在现有的DOA测量方法中,常规波束形成(Conventional Beam Forming, CBF)方法由于受到瑞利极限的影响[8 − 9],不能兼顾较少天线个数与高测角精度。多重信号分类(Multiple Signal Classification,MUSIC)算法克服瑞利极限[10],实现了角度超分辨,但其需要较多快拍数据且在信号相干时估计性能大幅下降[11- 14]。
迭代自适应算法(Iterative Adaptive Algorithm,IAA)不仅可以使用少快拍数据实现角度超分辨,同时可以克服相干信号带来的影响[15 − 17]。IAA要求对全空域进行网格划分,并通过计算信号协方差矩阵和功率矩阵获取信源位置,其计算复杂度高,实时性差[18]。同时,由于IAA需要在预定义的离散网格字典上对信号进行重构,难以避免真实信源与网格字典不匹配的情况,这将导致一定的测量误差。针对IAA实时性差这一问题,XUE等[19]利用Gohberg-Semencul型因子分解、矩阵的Toeplitz结构及FFT/IFFT来计算IAA谱,提出了IAA的快速实现算法。Glentis等[20]基于合适的Gohberg-Semencul表示,使用预处理共轭梯度求解线性方程组,提出了一种超快速IAA近似实现算法。CHEN等[21]提出了一种仅对全空域内部分感兴趣区域进行估计的Selective-IAA。这些算法均可一定程度上提高算法实时性,但其算法复杂且没有考虑到实际问题中信源位置不一定处在预定义的离散网格上这一问题,这将导致较大的测量误差。针对信源位置与网格字典不匹配这一问题,有许多学者做了研究[22 − 27]。揭允康等[22]通过修正IAA功率谱并交替优化功率分量和偏移量,最终实现高精度离网格DOA测量,但其在交替优化过程中,不可避免地增加了计算复杂度。徐文先等[23]提出了一种细化网格并进行自适应网格校正的改进IAA,能准确估计出信源角度,但网格细化不免带来计算负担。
针对上述提到的IAA实时性差、信源位置与预定义网格字典不匹配等问题,本文提出了一种快速迭代自适应算法(Fast Iterative Adaptive Algorithm, FIAA)。FIAA采用网格细化思路以解决信源位置与网格字典不匹配的问题,并在网格细化过程中选择信源潜在的网格区域进行后续计算,以此降低算法复杂度,提高实时性。FIAA兼顾低角度测量误差和低运行时间,适用于需要高实时、高精度的毫米波雷达波达角测量场景之中。
1. 信号模型
假设在远场观测场景中,信源个数为K,其波达方向为θk,其中k=1,2,⋯,K。有如图1所示的具有M个阵元的一维均匀天线阵。
第m个阵元与参考阵元之间由于位置关系所产生的相对时延与相位差分别为:
τmk=(m−1)dsin(θk)c ϕmk=2πfcτmk=2π(m−1)dsin(θk)λ 式中,m=1,2,⋯,M,M表示天线阵元个数;τmk表示第k个信源的回波信号到达第m个阵元与到达参考阵元之间的相对时延;fc表示电磁波的中心频率;ϕmk表示第k个信源的回波信号到达第m个阵元与到达参考阵元之间的回波信号相位差。则第m个阵元在第n次采样时的信号可被表示为式(1)。
ym(n)=K∑k=1sk(n)e−jϕmk+em(n) (1) 式中,n=1,2,⋯,N,N表示快拍数;ym(n)表示第m个阵元在第n次快拍时的信号采样值;sk(n)表示参考阵元位置处第k个信源在第n次快拍时的信号复幅值;em(n)表示加性高斯白噪声。
将式(1)表示为矩阵形式,如式(2)所示。
{\boldsymbol{y}}\left(n\right)={\boldsymbol{A}}\left(\theta \right){\boldsymbol{s}}\left(n\right)+{\boldsymbol{e}}\left(n\right) (2) 式中, \boldsymbol{A}\left(\theta \right)\in {\mathbb{C}}^{M\times K} 为信号的方向矩阵; \boldsymbol{s}\left(n\right)\in {\mathbb{C}}^{K\times 1} 为信号在第 n 次快拍时的复幅值,具体表示如下:
\boldsymbol{A}\left(\theta \right)=\left[\boldsymbol{a}\left({\theta }_{1}\right),\boldsymbol{a}\left({\theta }_{2}\right),\cdots ,\boldsymbol{a}\left({\theta }_{K}\right)\right] \boldsymbol{a}\left(\theta_k\right)=\left[1,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\phi_{2k}},\cdots,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\phi_{mk}}\right]^{\mathrm{T}} \boldsymbol{s}\left(n\right)={\left[{s}_{1}\left(n\right),{s}_{2}\left(n\right),\cdots ,{s}_{K}\left(n\right)\right]}^{\mathrm{T}} 以上内容为一维线性阵列的回波信号模型,本文中以式 \left(2\right) 中的矩阵形式进行分析。
2. FIAA
在IAA中,信号模型 \boldsymbol{A}\left(\theta \right) 中的 K 通常是预定义的离散网格数目,即认为真实信源可能出现在任意一个预定义的离散网格上。但事实上,由于离散网格字典不够精细,真实信源不一定恰好处在预定义的离散网格上。因此,预定义离散网格的细化程度影响着最后的角度测量精度。在实际使用中,预定义网格 K 的数目远大于实际存在目标的数目,当IAA对全空域网格精细划分时,在角度测量过程中产生了很大的资源浪费。
因此,针对IAA实时性差、信源位置与预定义字典网格不匹配的问题,本文提出了一种FIAA。该算法的主要思想是将网格分为粗细两部分,分次进行网格划分并选择信源潜在的区域进行网格细化。FIAA的具体步骤为,首先根据期望的扫描精度和扫描范围,选择粗细两次测量的网格数 {K}_{1} 、 {K}_{2} 。然后对全空域进行粗网格划分,通过迭代计算信号的协方差矩阵与功率矩阵计算出目标所在粗网格区域,即信源潜在区域。最后,对信源潜在区域进行细网格划分,而忽略对非潜在区域的计算与搜索,对信号的方向矩阵进行更新,再次对信号的协方差矩阵与功率矩阵进行迭代计算,得到信源角度的高精度测量结果。
下面介绍FIAA的详细内容。
2.1 算法内容
假设真实信源个数为 {K}_{r} ,粗细网格数分别为 {K}_{1} 、 {K}_{2} ,全空域扫描范围为−90°~90°。一维线性阵列的天线阵元个数为 M 。
第一步,使用IAA进行角度的初估计(粗略测量)。初估计扫描网格精度为:
{r}_{1}=\frac{180}{{K}_{1}} 此时方向矩阵为:
\begin{split} {\boldsymbol{A}}^{1}&=\left[{\boldsymbol{a}}^{1}\left({\theta }_{1}^{1}\right),{\boldsymbol{a}}^{1}\left({\theta }_{2}^{1}\right)\cdots \cdots ,{\boldsymbol{a}}^{1}\left({\theta }_{i}^{1}\right)\right]\\ & ={\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{1}^{1}}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{2}^{1}}& \cdots & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}^{1}}\\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }\left(M-1\right)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{1}^{1}}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }\left(M-1\right)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{2}^{1}}& \cdots & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }\left(M-1\right)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{i}^{1}}\end{array}\right]}\end{split} 式中, {\theta }_{i}^{1}=-90+i{\cdot r}_{1} , i=\mathrm{1},2,\cdots ,{K}_{1} 。 M 为天线个数。
定义信号的能量矩阵为一个 K\mathrm{*}K 的对角阵{\boldsymbol{P}},其第k个对角元素表示为式(3)。
{p}_{k}=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}{\left|{s}_{k}\left(n\right)\right|}^{2} (3) 式中,第 k 个对角元素是扫描网格上第 k 个角度信号的能量。 k=i,k=\mathrm{1,2},\cdots ,{K}_{1} , {s}_{k}\left(n\right) 表示参考阵元位置处第 k 个信源在第 n 次快拍时的信号复幅值,进而定义信号的协方差矩阵为式(4)。
\begin{matrix}{\boldsymbol{R}}=\frac{1}{N}{\boldsymbol{y}}{{{\boldsymbol{y}}}^{\text{H}}}={{{\boldsymbol{A}}}^{1}}{\boldsymbol{P}}{{{\boldsymbol{A}}}^{1}}^{\text{H}}\end{matrix} (4) 则信号之外的干扰和噪声的协方差矩阵为:
\begin{array}{c}{\boldsymbol{Q}}\left({\theta }_{k}\right)={\boldsymbol{R}}-{p}_{k}{\boldsymbol{a}}\left({\theta }_{k}\right){\boldsymbol{a}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_{k}\right)\end{array} 定义加权最小二乘代价函数为:
\sum _{n=1}^{N}{\left\|\boldsymbol{y}\left(n\right)-{s}_{k}\left(n\right)\boldsymbol{a}\left({\theta }_{k}\right)\right\|}_{W}^{2} 式中, {\left\|x\right\|}_{W}^{2}={\boldsymbol{x}}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{W}\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{W} 为加权矩阵,根据文献[28]当 \boldsymbol{W}={\boldsymbol{Q}}^{-1}\left({\theta }_{k}\right) 时,最小二乘估计量 {\widehat{s}}_{k}\left(n\right) 的估计误差最小,即:
{\widehat{s}}_{k}\left(n\right)=\frac{{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_{k}\right){\boldsymbol{Q}}^{-1}\left({\theta }_{k}\right)\boldsymbol{y}\left(n\right)}{{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_{k}\right){\boldsymbol{Q}}^{-1}\left({\theta }_{k}\right)\boldsymbol{a}\left({\theta }_{k}\right)} 根据矩阵求逆引理[29],上式可变化为式(5)。
{\widehat{s}}_{k}\left(n\right)=\frac{{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_{k}\right){\boldsymbol{R}}^{-1}\boldsymbol{y}\left(n\right)}{{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_{k}\right){\boldsymbol{R}}^{-1}\boldsymbol{a}\left({\theta }_{k}\right)} (5) 式中, {\widehat{s}}_{k}\left(n\right)\in {\mathbb{C}}^{1\times 1} 表示第k个信源在第n次快拍时信号复幅值的最小二乘估计量。
至此,开始进行角度的初估计。首先对功率矩阵 \boldsymbol{P} 中的对角元素进行初始化,可定义为:
\begin{array}{c}{\widehat{P}}_{k}=\dfrac{1}{\left({\boldsymbol{a}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_{k}\right)\boldsymbol{a}\left({\theta }_{k}\right)\right)N}\displaystyle\sum _{n=1}^{N}{\left|{\boldsymbol{a}}^{\mathrm{H}}\left({\theta }_{k}\right)\boldsymbol{y}\left(n\right)\right|}^{2}\end{array} 接着,根据式 \left(3\right)\mathrm{、}\mathrm{式}\left(4\right)\mathrm{、}\mathrm{式}\left(5\right) 对协方差矩阵 \boldsymbol{R} 及功率矩阵 \boldsymbol{P} 进行迭代更新,直至达到收敛条件或最大迭代次数。本文中设置最大迭代次数[12]为15,收敛条件为 \left\|\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\boldsymbol{P}}^{\left(l+1\right)}-{\boldsymbol{P}}^{\left(l\right)}\right)\right\|_{2}/{\left\|\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\boldsymbol{P}}^{\left(l\right)}\right)\right\|}_{2} < \varepsilon , \varepsilon =1\mathrm{e}-3 。
最后,通过谱峰搜索可得出角度初估计(粗略测量)结果为:
\begin{array}{c}{\theta }_{r}^{1}=-90+{i}_{r}{\cdot r}_{1}=-90+\dfrac{180{i}_{r}}{{K}_{1}}\end{array} 式中, {i}_{r} 是在初估计中谱峰搜索时峰值所对应的网格位置, r=\mathrm{1},2,\cdots ,{K}_{r} 。
第二步,确认信号潜在区域,并在潜在区域内进行细网格划分及更新信号方向矩阵。
由于初估计结果较为粗糙,因此继续选择信源潜在区域进行精细测量。根据角度初估计结果,可得信源潜在区域为:
\begin{array}{c}{I}_{r}=\left[{\theta }_{r}^{1}-\dfrac{{r}_{1}}{2},{\theta }_{r}^{1}+\dfrac{{r}_{1}}{2}\right]\end{array} 此后进行网格细化。细网格数为 {K}_{2} ,则细网格扫描精度为:
\begin{array}{c}{r}_{2}=\dfrac{{r}_{1}}{{K}_{2}}\end{array} 此时每一个信源的潜在角度区域 {I}_{r} 对应的方向矩阵为{\boldsymbol{A}}_{r}^{2} ,其中 r=\mathrm{1},2,\cdots ,{K}_{r} 。 {\boldsymbol{A}}_{r}^{2} 可表示为:
\begin{split} &{\boldsymbol{A}}_{r}^{2}=\\ &\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{r1}^{2}}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{r2}^{2}}& \cdots & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{rl}^{2}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }(M-1)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{r1}^{2}}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }(M-1)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{r2}^{2}}& \cdots & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tfrac{2{\text{π}}}{\lambda }(M-1)d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{rl}^{2}}\end{array}\right]\end{split} 式中, {\theta }_{rl}^{2}=({\theta }_{r}^{1}-\dfrac{{r}_{1}}{2})+l{\cdot r}_{2},l={0,1},2,\cdots ,{K}_{2} 。
所有信源潜在区域的方向矩阵为:
\begin{array}{c}{\boldsymbol{A}}^{2}=\left[{\boldsymbol{A}}_{1}^{2},{\boldsymbol{A}}_{2}^{2},\cdots ,{\boldsymbol{A}}_{r}^{2}\right]\end{array} 第三步,使用具有正则化协方差矩阵的IAA计算角度精细测量结果。
在获得信源潜在区域并更新了信号方向矩阵之后,再次使用IAA进行角度计算。值得一提的是,当信号功率向量只有少数分量非零时,协方差矩阵可能是奇异的,进而影响角度测量结果。为了缓解这一问题,本文使用文献[30]提出的方法,将原本的协方差矩阵{\boldsymbol{R}}替换为正则化协方差矩阵{\boldsymbol{R}}_{\lambda } ,正则化协方差矩阵由对角加载得到,即式(6)。
{\boldsymbol{R}}_{\lambda }={\boldsymbol{R}}+\lambda{\boldsymbol{I}} (6) 式中, \lambda 为加载值,本文中取 \lambda =1\mathrm{e}-1 。
使用式(3)、式(4)、式(5)、式(6)对协方差矩阵 \boldsymbol{R} 及功率矩阵 \boldsymbol{P} 进行迭代更新,直至达到收敛条件或最大迭代次数。本文中设置最大迭代次数[12]为15,收敛条件为 \left\|\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\boldsymbol{P}}^{\left(l+1\right)}-{\boldsymbol{P}}^{\left(l\right)}\right)\right\|_{2}/{\left\|\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\left({\boldsymbol{P}}^{\left(l\right)}\right)\right\|}_{2} < \varepsilon , \varepsilon =1\mathrm{e}-3 。
最后,通过谱峰搜索可得出角度精细测量结果为:
{\theta }_{r}^{2}={\theta }^{1}-\frac{{r}_{1}}{2}+{l}_{r}{\cdot r}_{2} 式中, {l}_{r} 是在过精细测量过程中进行谱峰搜索时峰值所对应的网格位置, r=\mathrm{1},2,\cdots ,{K}_{r} 。
综上,FIAA的具体实现步骤如图2所示。
2.2 复杂度分析
在本节中,将对IAA与FIAA的计算复杂度进行分析。
在每一次迭代过程中,两种算法均计算协方差矩阵及它的逆矩阵,更新信号矩阵与功率矩阵,即使用式(3)、式(4)、式(5)。在该过程中,IAA所需要计算的乘法数共计为 2{M}^{2}K+M{K}^{2}+2MK+{M}^{3} ,FIAA所需要的乘法数为 2{M}^{2}{(K}_{1}+x{K}_{2})+M({{K}_{1}}^{2}+ (x{{K}_{2})}^{2})+2M{(K}_{1}+x{K}_{2})+{2M}^{3} 。其中, M 为天线个数, K{\mathrm{、}K}_{1}\mathrm{、}{K}_{2} 分别为全空域、粗、细网格扫描数,且 K\gg M , x 为信源数。
由前文的分析可知,当IAA与FIAA有相同的网格精度时,有 K={K}_{1}{K}_{2} 。FIAA将 K 分解为 {K}_{1} 、 x{K}_{2} 两部分,降低了其平方项带来的计算负担。若场景下为了提高精度而需要减少信源位置与预定义网格不匹配的情况,则需要细化网格,增大 K 的取值,FIAA能够更大程度上地减少计算时间。也就是说,随着 K 的增大,FIAA将更具优势。
3. 仿真实验
为了验证本文所提FIAA的有效性,在操作系统为Windows 11,处理器为AMD Ryzen 7 7840H w的笔记本电脑上使用MATLAB 2019b开展了仿真实验。
实验中均设置接收天线为一维均匀线阵,阵元间距为半波长,阵元噪声为均值等于零的高斯白噪声;设置快拍数 N=10 ,最大迭代次数为15。每个仿真实验都将进行500次蒙特卡洛实验并取均值作为最终结果。
3.1 FIAA高实时性能验证实验
本节将通过仿真实验,对本文所提FIAA的高实时性能进行验证。
首先,为了观察天线个数对算法实时性的影响,本文设置信噪比为 30\;\mathrm{d}\mathrm{B} ,网格精度为0.1°, K=1800 , {K}_{1}=45 , {K}_{2}=40 。设置两个信源角度为−12.8°、11.3°,进行500次蒙特卡洛实验,取运行时间的均值作为最终的结果。实验结果如图3所示。
在图3中可以看到,在天线个数由12增加到72的过程中,IAA的计算耗时为
0.1835 ~0.6044 s,FIAA的计算耗时为0.0050 ~0.0197 s。由图3数据可得,FIAA的计算耗时至少缩减为IAA的4%。由仿真实验结果可得,FIAA的计算耗时在天线个数增加时变化缓慢,且远低于IAA。其次,为了观察信源个数对算法实时性的影响,本文设置信噪比为 30\;\mathrm{d}\mathrm{B} ,天线个数为36个,网格精度为0.05°, K=3600 , {K}_{1}=180 , {K}_{2}=20 ,并设置2~10个信源进行500次蒙特卡洛实验,取运行时间的均值作为最终的结果,仿真实验结果如图4所示。
由图4可以看到,在信源个数由2增加到10的过程中,IAA的计算耗时为
1.0306 ~1.2587 s,FIAA的计算耗时为0.0162 ~0.0354 s。通过计算图4中数据可得,在信源个数由2增加到10的过程中FIAA与IAA的计算耗时百分比由1.6%缓慢递增至约为2.8%。由仿真实验结果可见,IAA与FIAA随着信源个数的增加,计算耗时均缓慢增加,但后者计算耗时远低于前者。另外,为了验证当网格不断细化时,FIAA在实时性上将更有优势,提取了上述两个仿真实验中天线个数与信源个数相同时(天线个数为36,信源个数为2)的实验数据,如表1所示。
算法 网格精度为0.1°时的
计算耗时/s网格精度为0.05°时的
计算耗时/sIAA 0.386052 1.030609 FIAA 0.015321 0.016237 \dfrac{\mathrm{F}\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{A}}{\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{A}} 3.97% 1.58% 表1中数据表明,当网格精度由0.1°细化为0.05°时,IAA的计算耗时变化较大,增加的时间为初始时间的167%,而FIAA的计算耗时几乎无明显改变,增加的时间仅为初始时间的6.05%。且当网格精度更高时,FIAA与IAA的计算耗时百分比由3.97%缩减为1.58%。以上数据说明,网格不断细化时,相比于IAA,FIAA对网格精度几乎不敏感,计算耗时无明显增加,在计算实时性方面更有优势。这一优点为克服信源位置与预定义网格字典不匹配的问题提供了一种简单且快速的网格细化的解决办法。
最后,为了观察 {K}_{1} 、 {K}_{2} 的设置情况对FIAA算法的影响,本文进行了仿真实验。基于2.2节中所述,与IAA相比,FIAA的主要优势是将 K 分解为 {K}_{1} 、 x{K}_{2} 两部分,降低了其平方项带来的计算负担。因此除 {K}_{1} 、 {K}_{2} 的设置情况外,信源个数 x 对FIAA的算法复杂度也会产生一定影响。考虑到上述因素,在本次实验中设置两个信源,并保持不变,信源角度为−12.8°、11.3°。针对于网格精度为0.1°,K=1800的情况,设置四组 {K}_{1} 、 {K}_{2} 并依次增加天线个数,观察FIAA算法的计算耗时。最终的结果取500次蒙特卡洛实验运行时间的均值,实验结果如图5所示。
由图5可以看出,天线个数不断变化,但在四组不同的 {K}_{1} 、 {K}_{2} 中,当 {K}_{1}=60 , {K}_{2}=30 时,算法的计算耗时总是保持最低。基于基本不等式对FIAA的算法复杂度进行分析,当且仅当 {K}_{1}=x{K}_{2} 时, {{K}_{1}}^{2}+(x{{K}_{2})}^{2} 取得最小值,此时FIAA每次迭代计算中所需的乘法数最少。因此,在信源个数 x=2 , {K}_{1}{K}_{2}=K=1800 时,取 {K}_{1}=60 , {K}_{2}=30 的计算耗时最低。由图5可以看出,理论分析的结果与仿真实验结果相符。另外,除 {K}_{1} 、 {K}_{2} 的选取值外,图3与图5中的仿真实验各个参数均保持一致。观察两图的纵坐标数值可知,尽管图5中实验对FIAA设置了四组不同的 {K}_{1} 、 {K}_{2} ,但与图3相比,它们的计算耗时均远低于IAA。由此可以说明,设置不同的 {K}_{1} 、 {K}_{2} 均可以保证FIAA在实时性上的优越性能且可以通过已知的信源个数来选择最佳的 {K}_{1} 、 {K}_{2} 。
综上所述,仿真实验通过单独改变天线个数和信源个数分别验证了FIAA的高实时性,并说明了在网格细化时FIAA将更具有优势,且选择不同的 {K}_{1} 、 {K}_{2} 均可以降低计算复杂度并保证FIAA的高实时性。因此,FIAA更加适合用于对实时性要求较高的毫米波雷达波达角测量场景中。比如,FIAA能够快速进行角度测量,缩短毫米波雷达在自动驾驶汽车感知环境时所需的时间,提升自动驾驶汽车的整体反应速度,进而提高自动驾驶的安全性。
3.2 FIAA与IAA角度估计精度比较实验
本节将通过仿真实验,进一步将本文所提的FIAA与IAA的角度估计精度进行比较。运行结果使用均方根误差作为单个角度的估计精度评价指标,其计算公式为式(7)。
{\theta }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}=\sqrt{\frac{1}{K{N}_{m}}\sum _{k=1}^{K}\sum _{i=1}^{{N}_{m}}{\left({\widehat{\theta }}_{i,k}-{\theta }_{k}\right)}^{2}} (7) 式中, K 为信源个数; {N}_{m} 为蒙特卡洛实验次数; {\widehat{\theta }}_{i,k} 为进行第 i 次蒙特卡洛实验时的第 k 个信源的角度估计值; {\theta }_{k} 为第 k 个信源的角度真实值。
仿真实验中分别设置在不同信噪比下,天线个数为24时,网格精度为0.1°, K=1800 , {K}_{1}=180 , {K}_{2}=10 。设置信源角度为−18.7°、−4.3°、7.2°、13.8°。进行500次蒙特卡洛实验,使用式(7)计算其均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE),实验结果如图6所示。
由图6可以看到,在信噪比低于0dB时,IAA的均方根误差远低于FIAA。当信噪比由0dB逐步增加至25dB的过程中,FIAA的均方根误差不断接近IAA。在信噪比为0dB时,IAA与FIAA的均方根误差分别为
0.1658 和0.1900 ,仅相差0.0242 。此后,两种算法始终保持相近的测量精度。由仿真实验结果可见,在信噪比过低时,FIAA的计算误差大。这是由于此时的快拍数也过小,所获取的有效信息少,算法在计算协方差矩阵求逆的过程中可能出现奇异矩阵导致的。当信噪比不断增加时,FIAA角度估计的均方根误差与IAA接近。根据引言中所提到的,当网格不断细化时,真实信源位置与字典网格不匹配的问题将天然地被解决。结合本次实验结果中信噪比良好时,FIAA的精度与IAA接近,可知,FIAA在网格细化时可以克服真实信源位置与字典网格不匹配的问题。综上所述,通过上述高实时性能和角度测量精度比较两个仿真实验,验证了本文所提出的FIAA可以大大降低计算耗时,并在信噪比良好时具有良好的测量精度,适用于对实时性要求较高的毫米波雷达波达角高精度测量。
4. 结论
本文提出了一种可以快速进行DOA测量的FIAA,相较于相同网格精度下的IAA,计算耗时大大降低,并且适用于精密的网格细化以克服信源位置与预定义网格字典不匹配的问题。该算法以IAA为基础,使用网格细化(粗细网格)的方法分次对信源角度进行测量,原理简单、结构清晰、方案灵活。仿真实验结果表明,相较于相同网格精度下的IAA,本文所提出的FIAA的计算耗时至少缩减为原来的4%,且当网格细化程度越高时,缩减时间的程度越高。并且,当信噪比大于0dB时,尽管在少快拍的情况下,FIAA与IAA的估计精度基本持平。因此,本文所提出的FIAA适用于对实时性要求高且需要高精度的毫米波雷达波达角测量场景之中。
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表 1 网格细化时IAA和FIAA的计算耗时
Table 1 Computational cost of IAA and FIAA when refining the grid
算法 网格精度为0.1°时的
计算耗时/s网格精度为0.05°时的
计算耗时/sIAA 0.386052 1.030609 FIAA 0.015321 0.016237 \dfrac{\mathrm{F}\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{A}}{\mathrm{I}\mathrm{A}\mathrm{A}} 3.97% 1.58% -
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