0.   引言

随着国家新基建、航空深海等战略的深入推进实施，工业机器人、大飞机等关键支撑装备的需求量日益增加，各领域对此类装备的性能要求也越来越高^[1]。这些设备一般尺寸较大、工作空间范围广、加工精度高，对其在制造和应用过程中的精密测量，是保证其产品性能及运行质量的技术基础和必要手段。

通常来说，大型装备的测量精度要求在丝米级甚至微米级，激光跟踪仪是其中最常用的高精度测量设备^[2-4]。常规大型设备的尺寸和空间位置测量，单基站激光跟踪仪基本能够满足需求，然而大型装备制造现场往往面临工件结构复杂、被测空间的距离及角度范围大、位置及姿态需同时测量等问题，单基站激光跟踪仪很难满足以上测试需求，因此近年来，拥有更大测量能力及更高测量精度的多基站激光跟踪仪协同测量方法成为学术和工业界的研究热点。

以工业机器人性能测量为例，一般通过单基站激光跟踪仪测量系统并根据GB/T 12642-2013《工业机器人 性能规范及其试验方法》对其14项性能指标进行测量^[5]。然而，对以下两种情况，单基站激光跟踪仪测量存在困难：1）工业机器人的姿态测量。通常来说，需要测量机器人末端的3个点，才能确定姿态信息。单基站激光跟踪仪不能同时测量3个点的位置信息；2）双臂机器人、多机联动机器人系统的性能测量，单基站激光跟踪仪无法同时对其中所有的机器人进行测量。

基于多基站激光跟踪仪的协同测量方法，不仅可以有效解决单基站系统面临的上述难题，还具有如下优点^[6]：

1）测量精度更高。多基站系统通过协同转站和数据融合技术，可以有效降低单基站测量的误差，提升整体的测量精度。

2）姿态信息实时测量。多基站系统可以同时测量机器人末端的多个靶标，并通过协同转站归一到同一坐标系下，因而可以同步获取机器人末端的姿态信息。

3）适用对象更广。多基站机器人性能测量系统不仅可以测量单臂机器人的性能，还可以对双臂机器人、多机器人联动系统等进行测量，适用的机器人类型更广。

本文从激光跟踪仪的测量原理及测量特性出发，开展多基站激光跟踪仪协同测量的误差影响因素研究，分析不同影响因素对测量精度的影响。

1.   激光跟踪仪的测量原理

激光跟踪仪测量系统主要包括如下组件：主机控制器、主控单元、跟踪靶球（SMR）、温度传感器、便携式三脚架、配套算法及测量软件等（PREMAX ARTS 5025），如图1所示。激光跟踪仪的基本测量原理是通过内置的2个角度编码器和1个距离传感器来动态跟踪目标靶标的空间位置数据^[7]。与经纬仪、三坐标测量机等传统的高精度测量设备相比，激光跟踪仪的测量误差呈现出累积性显著、与测量距离正相关等特点。

图  1  多基站激光跟踪仪性能测量系统

Figure  1.  Performance measurement system of multi-base station laser tracker

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激光跟踪仪的几何测量模型是球坐标系测量模型，包括一个激光干涉测长的测长单元，以及基于两个高精度角编码器的俯仰角、水平角测量单元^[8]。测得的参数不能直接使用，需要转化成空间笛卡尔坐标，如图2所示。原始参数主要包括距离值$R$、水平角$\theta$、俯仰角$\varphi$。

图  2  激光跟踪仪测量坐标系

Figure  2.  Measurement coordinate system of laser tracker

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通过空间坐标转换关系，将上述球坐标系转换为笛卡尔空间坐标系，如式（1）所示。

由式（1）可知，笛卡尔空间坐标系下的三维坐标测量值受球坐标系下三个相互独立的测量单元的综合影响。三个传感器中，任何一个测量精度的波动都会导致三维空间测量值发生变化。

2.   多基站激光跟踪仪协同测量的误差影响因素

多基站激光跟踪仪协同测量系统的误差主要包括单基站测量系统自身误差以及多基站协同测量转站误差。其中，单基站测量系统自身误差主要包括随机误差、环境干扰以及系统误差。

2.1   单基站随机误差

不同于误差分析理论中随机误差的概念，本文所指的激光跟踪仪随机误差指激光跟踪仪靶球人为安装所带来的的空间三维测量坐标值的变化。激光跟踪仪SMR是对本体发射的激光进行反射的重要部件，其棱镜与入射激光之间的角度大小对于测量精度有显著影响^[9-11]。靶球通过人工安装在磁性靶球座上，其与末端之间的夹角具有随机性，因此激光跟踪仪靶球安装对于测量精度误差的影响具有随机性。

除了靶球的安装之外，靶球座的加工精度也是单基站测量系统随机误差的来源之一。

2.2   环境干扰

激光跟踪仪在大空间尺寸的精密测量领域具有显著优势，测量过程对于环境因素的干扰极为敏感。在日常环境中，常见的环境因素包括温湿度的变化、地磁的变化、振动等。以本文实验所用的FARO激光跟踪仪为例，其规定正常的温湿度范围分别是0～40℃、0～85%，否则就难以保证其测量精度。

激光跟踪仪本体发出的激光在空气中进行传播，假设环境发生显著变化，激光在空气中会发生偏离，从而影响测量精度。在激光跟踪仪众多的测量误差因素中，环境因素虽然无法消除，但是可控性较强，其引起的误差可以通过对工作环境温湿度、振动等控制进行削减。

2.3   激光跟踪仪系统误差

激光跟踪仪测量的系统误差具备明显的规律性和方向性，主要跟其内部因素相关，比如主控单元的结构设计、测量传感器的精度等，减小系统误差需要从硬件层面进行工艺改进和精度提升。根据产品说明，激光跟踪仪的测长精度为6 um+0.5 um/m，测角精度为20 um+5 um/m。一般来说，长度测量的精度随着测量距离的增加而降低，其精度显著优于角度测量精度。角度测量精度的提升需要改善测角编码器的精度。

令$dR$表示长度测量过程中的系统误差、$d\theta$表示角度测量水平分量的误差、$d\phi$表示角度测量俯仰方向的误差，则根据空间坐标测量公式可以得出传感器的信号变化带来的空间坐标变动关系。将式（1）在空间理想点$\left( {{R_{\rm{0}}},{\theta _{\rm{0}}},{\phi _{\rm{0}}}} \right)$处进行全微分展开，由于测长传感器与测角传感器相互不相关，可以得到式（2）。

为了更加直观地描述单基站激光跟踪仪的测量误差，将上述展开式中的值与理论测量值$( {R_{\rm{0}}},{\theta _{\rm{0}}}, {\phi _{\rm{0}}} )$的差值表示成误差矩阵的形式，如式（3）所示。

式中，T$\left( {{R_{\rm{0}}},{\theta _{\rm{0}}},{\phi _{\rm{0}}}} \right)$表示误差矩阵的系数矩阵，充分证明了笛卡尔坐标系下的测量误差是由三个测量传感器综合作用的结果。为了更好对空间中点位的三维空间坐标进行表示，令$e = {\left[{{e_x}}\;\;{{e_y}}\;\;{{e_z}} \right]^{\rm{T}}}$代表随机测量误差，表示指令点空间笛卡尔坐标。则空间任意坐标点的坐标转换公式为式（4）。

2.4   多基站激光跟踪协同测量转站误差

多基站激光跟踪仪协同测量的本质是不同基站测量坐标系之间的转换，通过从不同的角度对固定的点或者几何集合进行测量，再通过数据匹配对齐其余基站的点位。通常情况下，有两种转站方式，一种是先用多基站激光跟踪仪在固定地点分别进行点位测量，然后进行转站；另一种是单台激光跟踪仪在固定地点对多个空间点进行测量，然后进行转站算法拟合^[12]。激光跟踪仪转站模型如图3所示，为了区分不同坐标系在转站中发挥的作用，令被参考的坐标系为主坐标系，即规定了所有坐标系最终的坐标方向，其余坐标系下的空间坐标需要通过转换关系转到主坐标系下进行比较和运算。

图  3  多基站激光跟踪仪转站模型

Figure  3.  Transfer model of multi-base laser tracker

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因此，多基站激光跟踪协同测量转站误差主要来源于两个方面：1）公共点分布。2）坐标转换算法。在多基站激光跟踪仪协同测量中，公共点作为参与空间转换的重要部分，其选取质量对于优化求解转站参数也会有一定影响。一般来说，选取在工作空间中均匀分布的点能够显著提升转站精度。

通常来说，求解空间坐标系的转换需要3组以上的空间三维坐标。当空间三维坐标大于3组时，要进行点位优化处理。由于转站过程中的误差影响因素较多，求解空间转站矩阵的空间三维坐标组数不止3组。目前，常用的坐标系转站算法主要包括以下三种^[13-14]。

1）最小二乘法

最小二乘法是一种线性回归优化算法，其模型为高斯-马尔科夫模型。它通过最小化误差（真实目标对象与拟合目标对象的差）的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，可据此确定坐标系转换矩阵并求得转换后的坐标。

2）奇异值（SVD）分解法

奇异值分解可以对非方阵的矩阵进行分解，利用该方法求解坐标系转换参数时，首先对测量参考点进行离散型分析处理，去除共线或者共面的点，然后通过转站参数求解模型进行坐标转换。

3）四元数求解法

四元数求解法以单位四元组为基，构造旋转矩阵R，计算坐标转换矩阵参数，该方法可以将坐标变换参数的求解转换为求解二次型问题，可大幅度降低求解计算量。

为了探究不同求解算法对求解多基站激光跟踪仪转站参数的影响，本文通过仿真来进行精度研究，所选用的公共点如表1所示。

表  1  仿真计算公共点坐标

Table  1.  Coordinates of common points calculated by simulation

	主站位	转站站位
公共点1	3000.000, 0.029, 0.029	4999.980, 2000.049, 0.052
公共点2	−2000.048, 4999.981, 0.053	−0.069, 7000.000, 0.068
公共点3	−1999.951，−0.019, 5000.019	−0.019, 1999.951, 5000.019
公共点4	−7000.000，−0.068, 0.067	−5000.019,1999.952, 0.053
公共点5	−2000.000，−0.019, 0.019	−0.019, 2000.000, 0.019

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分别使用上述三种不同的求解方法进行求解，精度结果如表2所示。

表  2  不同参数求解方法的转站误差

Table  2.  Transfer errors of different parameter solving methods

	最小二乘法	SVD分解法	四元数求解法
平均误差	0.012	0.012	0.014

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由表2所示，最小二乘法及SVD分解法对坐标转换参数的解算精度接近，略高于四元数求解法。另外，测量工作现场的公共点一般尽量分布在工作空间中。鉴于SVD分解算法具有计算速度快、算法效率高等优点，一般优先采用SVD分解算法进行求解。

3.   结论

多基站激光跟踪仪协同测量可以突破单基站激光跟踪测量系统的瓶颈，实现复杂环境下对于大范围及姿态的高精度测量。本文开展多基站激光跟踪仪协同测量的误差影响因素研究，分析不同影响因素对于测量误差的影响。并通过仿真实验验证了转站算法和公共点分布方式对测量精度的影响程度。结果表明，最小二乘法及SVD分解法对坐标转换参数的解算精度接近，略高于四元数求解法。综合考虑坐标转换的解算精度、实际测量要求及算法特征，一般优先采用SVD分解法。