0.   引言

随着海洋探索和水声技术的发展，对水声探测系统的测量准确性要求越来越高^{[1 − 2]}。水听器作为传声器的一种，使用范围和用途不断扩大^[3]，因此对水听器灵敏度的校准方法与校准系统的研究显得十分重要。随着水听器逐渐向低频大尺寸扩展^[4]，常规的校准方法难以对低频段进行校准，由于水箱的空间有限，水池中的反射无法避免，尤其是低频段存在反射叠加的问题，导致采用脉冲信号已经不能将直达波与反射波分离，使低频段的校准过程难以得到2个稳态波，因此找出适用于此类情况的校准方法显得尤为重要。

根据之前的研究，对自由场灵敏度的校准通常采用自由场比较法、自由场互易法、激光测振法^{[5 − 10]}。互易法、激光法在测量时没有引入声学参数^[11]，主要误差测量都来源于测量中使用的仪器，属于一级校准方法，比较法为二级校准方法。

其中，自由场互易法是根据声学的声场互易定理和线性换能器的机电互易定理推导而来的^{[12 − 13]}。通过使用发射换能器、待测水听器以及一个可逆的满足互易定理^[14]的水声换能器两两组合，依据电声互易原理获得被校水听器的灵敏度，但缺点是测量过程比较麻烦，需要进行三组换能器的安装操作；加之互易法校准受到的影响因素比较多^{[15 − 16]}。

激光法校准水听器对互易法进行改进，利用激光测振仪测量条带薄膜受声压影响的振动，通过系列的参数修正来等效测量出水声场中某点的质点振动，获得该位置的标准声压与待校准水听器进行比较，从而获取待校准水听器的自由场电压灵敏度。但在中低频段时，受到水池尺寸和圆形反光透声薄膜夹具反射的影响，测量时无反射时间窗过小，难以获得直达波信号，大尺寸夹具又会引入更多的环境干扰^[17]，且会对声场、薄膜的振动模态造成影响，影响振速测量精度^[18]。

自由场比较法测量较为简单快捷，但自由场比较法对测量空间的自由场条件要求很高^[19]，需要建造大型的消声或非消声水池。

针对以上问题，在自由场比较法的基础上利用残周期拟合法，使用残周期信号拟合出一条完整的信号波形。使用最小二乘正弦曲线拟合获得信号幅值，解决过低频段时难以获得一个完整的稳态直达正弦波信号的问题。残周期正弦波曲线拟合在超低频参数的快速估计、调制解调等方面具有特别的价值和意义^[20]，能够降低灵敏度校准的直达波周期数要求，降低灵敏度测量的频率下限，解决水池有限空间内的低频校准问题。

1.   原理概述

1.1   校准原理

自由场比较法是在自由场中通过待测水听器与标准水听器或标准声源进行比较的相对校准方法^[21]。进行自由场比较法校准需要把标准水听器和待测水听器先后放在满足远场条件的声场的同一位置，分别测量两者的开路电压进行比较校准^[22]。

通过自由场比较法进行水听器的校准时按照图1所示安装发射换能器（F）、标准水听器（P）以及待校准水听器（X）^[23]，保持发射换能器与标准水听器的距离与待校准水听器的距离相同，以及三者测量时处于同一位置深度。

图  1  自由场比较法原理图

Figure  1.  Schematic diagram of the free-field comparison method

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待校水听器的自由场灵敏度${M}_{\mathrm{X}}$如式（1）所示。

式中，${M}_{\mathrm{F}}$为标准水听器的自由场灵敏度，V/Pa；${d}_{\mathrm{F}\mathrm{P}}$为发射器(F)和标准水听器(P)的声中心间的距离，m；${d}_{\mathrm{F}\mathrm{X}}$为发射器(F)和待校水听器(X)的声中心间的距离，m。

由于标准水听器的灵敏度已知为${M}_{\mathrm{F}}$，保持中心距与电流值一致，则可简化为式（2）。

通过分别测量标准水听器的开路电压${U}_{\mathrm{P}}$和待校准水听器的开路电压${U}_{\mathrm{X}}$，求得待校准水听器的灵敏度${M}_{\mathrm{X}}$。

需要注意的是，使用自由场比较法实施测量，通常需要在开阔水域或消（反射）声水池中来确保没有边界反射的干扰，使置于水下的声电器件处于自由场环境，在测量时能够获得足够分析的稳态直达波信号^[24]。若在非消声水池中实施时，就需要使用脉冲测量技术^[25]，采用矩形波调制后的正弦脉冲信号来驱动发射换能器。

通过这种方式，发射换能器发出的正弦波信号只出现在高电平部分，可以实现时域上的间隔来区分直达波信号和反射波信号，只需要控制好正弦脉冲信号的脉冲宽度来让直达波信号和反射波信号分开，防止出现信号的混叠。在实际的校准过程中，由于换能器本身会产生受迫振动，换能器处于声波收发状态时都是在瞬态状态完成的，使接收到的信号出现暂态部分。图2是发射的正弦脉冲信号波形以及水听器的接收信号波形。

图  2  输出信号和采样信号波形图

Figure  2.  Waveform plots of the output signal and the sampled signal

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为了获取直达波信号，将反射波信号与直达波信号区分开，正弦脉冲信号的脉冲宽度要小于直达波至反射波的最短时间差，如式（3）所示。

同时为获得稳态波信号，$\tau$至少要大于前部暂态时间${t}_{0}$。根据IEC60565标准^[26]的推荐，水声信号测量至少需要两个周期的稳态信号，如式（4）所示。

综合这两项限制，在保证直达波与反射波有效区分，并且能够获得两个周期以上的稳态信号的情况下，自由场比较法灵敏度测量的低频限制为式（5）。

实验设置如图3所示，实验水箱的高为H，长为L，宽为W，发射换能器与接收换能器之间的中心距为d，实验所用的发射换能器F、标准水听器P和待校准水听器X均位于水箱中心轴位置，根据布置可以计算出反射波的到达时间。

图  3  水箱平视图

Figure  3.  Flat view of the water tank

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脉冲宽带$\tau$应该满足式（6）~式（8）。

式中，${t}_{1}、{t}_{2}、{t}_{3}$分别为水面及水箱底的反射时间、水箱前后面的反射时间、靠近待测换能器水箱侧壁的反射时间。

当换能器的最大尺寸大于或等于波长时，换能器之间的反射应引起注意，欲避免此反射对测试的影响，则脉冲宽度r（s）应满足式（9）。

式中，${t}_{4}$为换能器之间的反射时间。

暂态环节正弦信号包络的振荡幅度随时间呈现指数变化，前部暂态环节中振荡幅值x(t)与时间t的关系如式（10）所示。

式中，$A$为达到的稳态时的幅值；$Q$为换能器的品质因数；${f}_{\mathrm{s}}$为换能器的谐振频率。

根据式（11）确定水听器的品质因数Q。

根据该式可以得知$Q$值的大小影响换能器从暂态过渡到稳态的时间，$Q$值越大，输出信号的暂态时间越长，$Q$值与暂态时间呈现一定正相关关系。

前部暂态阶段时间的计算公式如式（12）所示。

式中，$\eta$为达到的振荡幅值相对稳态振荡幅值的百分数。

1.2   残周期算法原理

实验中发射以及接收到的正弦信号可以通过四个参数，即幅度、频率、相位以及直流分量来唯一确定，正弦脉冲信号的频率是已知的，所以只需要通过拟合算法根据采样信息获取其他三个参数的拟合值，就可以大致确定接收到的直达信号，排除接收换能器的衰减影响和水中反射波段的影响，因此采用三参数正弦曲线拟合法^[27]来进行信号处理。

设理想的正弦波信号为：

式中，C为正弦波信号幅值；θ为相位角；D为直流分量。

设计算得到的暂态时间为t₀，则选取在出现接收信号后t₀时刻为采样开始时间节点，根据已知的周期T，选择截取t₀～(t₀+xT)时域范围的信号，x为范围在0～2的实数，这一范围的信号就是采样得到的需要拟合处理的残周期信号。

其中有t₁, t₂, …, t_n共计n个时刻，以及y₁, y₂, …, y_n共计n个采集样本值。三参数正弦曲线拟合法就是找到使残差平方和，即下式值最小的A、B、D值，来确定拟合的正弦函数。

由此可以构造如下矩阵：

通过联立上式：

x的最小二乘解为：

再由上式确定的$\varepsilon$为最小，就可以得到系数为$A$、$B$、$D$的拟合函数：

其中，被测信号的幅值$C$为：

初始相位角$\theta$为：

综上，将残周期拟合法用于低频测量中，就可以通过拟合获得直达波稳态信号，避免了少于2个稳态周期难以确定稳态信号的问题。

2.   自由场比较法校准试验

2.1   实验系统介绍

根据自由场比较法的校准原理设计校准装置如图4所示，通过信号发生器发出信号，由CH2传输给数字示波器作为监控，同时由功率放大器将该信号放大后传输给标准声源，驱动标准声源发射声波，标准水听器以及待校准水听器接收该声波后发出的响应电压则由CH1传输给数字示波器显示。

图  4  校准装置示意图

Figure  4.  Schematic diagram of the calibration device

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实验所用的水箱尺寸为2.1 m×1.2 m×1.2 m，校准装置的入水深度约为0.6 m，两装置的间距为0.4 m。采用发射换能器作为标准声源，标准水听器采用resonTC4032，接收换能器作为待测水听器。通过信号发生器发出频率为2.5～20 kHz；幅度为500 mVpp；猝发周期为600 ms的10个周期的脉冲信号。

2.2   稳态时间获取

根据上述实验设置，代入式(6)、式(7)、式(8)、式(9)可以得到所要求的水面及水箱底的反射时间${t}_{1}$、水箱前后面的反射时间${t}_{2}$、靠近待测换能器水箱侧壁的反射时间${t}_{3}$、换能器之间的反射时间${t}_{4}$，从而确定脉冲宽度$\tau$：

根据发射换能器的导纳曲线，可以计算换能器器的品质因数$Q$，小球换能器的导纳曲线如图5所示。

图  5  发射换能器导纳曲线

Figure  5.  Admittance curve of transmitting transducer

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根据图5中发射换能器的导纳曲线可知，待测换能器的谐振频率${f}_{\mathrm{s}}$约为44.5 kHz，代入式（11）可得$Q$=3.95。

由式（12）可得前部暂态阶段时间：

在脉冲信号到达后历经一个暂态时间${t}_{0}$后即为稳态时间。

2.3   测量频率下限

根据计算得到最短到达的反射时间：

由式（1）可得自由场比较法测量频率下限：

由式（5）可以得到在残周期拟合后仅使用1个稳态周期信号的测量频率下限为：

2.4   实验过程

通过测量获取了2.5～20 kHz中22个频点的信号，分别取低频段2.5 kHz和中频段10 kHz的信号波形进行展示，如图6所示，分别取脉冲信号到达后经历一个暂态时间后的一个周期的波形进行拟合，矩形框内的部分即为用于拟合的信号段。

图  6  2.5 kHz、10 kHz信号波形

Figure  6.  Received signal waveforms at 2.5 kHz and 10 kHz

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在2.5 kHz和10 kHz的频段拟合后的波形如图7所示。

图  7  2.5 kHz、10 kHz信号拟合后波形

Figure  7.  Signal fitting results at 2.5 kHz and 10 kHz

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通过观察可以发现，在10 kHz的频段下从稳态时间开始，拟合信号与接收到的信号在多个周期内的幅值保持一致。根据两个频段的拟合结果，10 kHz的拟合误差在0.4dB之内，2.5 kHz的拟合误差在0.6dB之内，拟合效果良好。

为了验证1个稳态周期的残周期信号进行拟和的准确性，采用仿真的方式对残周期拟合法进行评价，不同周期长度的相对误差如表1所示。

表  1  残周期拟合法在不同周期长度下的相对误差

Table  1.  Relative error of residual period fitting method for different period lengths

残周期长度	相对误差/%	残周期长度	相对误差/%
0.2T	6.33	1T	0.47
0.35T	5.61	1.1T	0.58
0.5T	2.33	1.2T	0.32
0.6T	2.01	1.4T	0.15
0.7T	1.43	1.6T	0.02
0.8T	1.02	1.8T	0
0.9T	0.77	2T	0

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根据IEC标准，在进行自由场水听器灵敏度校准时由幅值估计引入的误差应在0.5%以内，因此在采用1个稳态周期信号进行拟合时达到的效果最好。

3.   实验对比验证

3.1   残周期法与互易法对比

互易法是一种标准的校准方法，需要在自由场水池中完成^{[28 − 29]}，本实验在长度为5.5 m、宽度深度均为3.5 m的长方体消声水池中进行，令换能器间距d=1 m。通过三个换能器搭建^[30]，由信号发生器输出正弦信号，经功率放大器输出，激励换能器发射声波，分别记录每个测量过程的电压值，代入灵敏度标定公式进行灵敏度的计算。

将互易法的测量结果与残周期法进行对比，绘制对比结果曲线如图8所示。

图  8  互易法与残周期法对比曲线图

Figure  8.  Comparison curve between the reciprocity method and the residual period method

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互易法与残周期法对比的误差曲线如图9所示。

图  9  互易法与残周期法对比的误差曲线图

Figure  9.  Error curve comparing the reciprocity method and the residual period method

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通过互易法校准结果与残周期拟合法的校准结果进行对比，在使用1个周期稳态直达波信号时，由残周期拟合引入的误差在0.6dB之内。

3.2   残周期法处理前后对比

为了验证残周期拟合法的频率拓展效果，将残周期拟合法数据处理前后的校准频率进行比较，如图10所示。

图  10  残周期法处理前后对比曲线图

Figure  10.  Comparison curves before and after applying the residual period method

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通过对使用残周期拟合法前后的校准频率进行对比，校准的频率下限拓展到2.5 kHz。

4.   结论

残周期法在自由场比较法低频校准中显示出显著的应用潜力，能够有效的降低反射声场对校准过程的干扰，从而提高低频设备的校准准确性。该研究结果显示在使用1个周期稳态直达波信号时，最低校准频率为2.5kHz，由残周期拟合引入的误差在0.6dB之内。

将该方法与自由场互易法校准结果进行多次对比分析，使用本方法可实现2.5～20 kHz频段的灵敏度校准，误差在1dB之内。然而，对于残周期法在实际应用中也存在一些局限性。例如环境噪声、反射声场的衰减以及非线性等因素会对残周期法的准确性产生一定的影响。