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Uncertainty Evaluation of Piston Gauge Effective Area Using the Monte Carlo Method
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摘要: 不确定度评定是量值传递工作的重要组成部分，随着JJF 1059.2-2012《用蒙特卡洛法评定测量不确定度》的发布，蒙特卡洛法也越来越多地应用于各计量专业的不确定度评定。基于python语言采用蒙特卡洛法和自适应蒙特卡洛法两种方法编写了计算代码，以100 MPa油介质活塞压力计的校准为例，对活塞有效面积校准结果的不确定度进行了评定，分析计算了各输入量不确定度及概率分布模型对输出量不确定度的影响，并与传统评定方法的结果进行了比较。结果表明：活塞有效面积校准不确定度的主要来源为标准活塞有效面积引入的不确定度，采用蒙特卡洛法的结果与传统评定结果一致，相对扩展不确定度（k=2）均为32 ppm，有效面积校准结果的概率密度分布取决于主要影响量的概率密度分布。Abstract: Uncertainty evaluation is a crucial component in the dissemination of measurement values. Following the publication of JJF 1059.2-2012 "Evaluation of Measurement Uncertainty Using the Monte Carlo Method," this approach has been increasingly applied across various metrological disciplines. Using Python, calculation codes were developed employing both the Monte Carlo method and the adaptive Monte Carlo method. Taking the calibration of a 100 MPa oil-medium piston gauge as an example, the uncertainty of the calibrated effective area was evaluated. The impact of uncertainties and probability distribution models of various input quantities on the output uncertainty was analyzed and compared with results from traditional evaluation methods. The findings indicate that the primary source of uncertainty in the calibration of the piston's effective area is the uncertainty introduced by the standard piston's effective area. Results obtained using the Monte Carlo method align with those from traditional evaluations, both yielding a relative expanded uncertainty (k=2) of 32 ppm. The probability density distribution of the calibrated effective area is determined by the probability density distribution of the main influencing factors.
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Key words:
- metrology /
- uncertainty evaluation /
- Monte Carlo method /
- piston gauge /
- effective area
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图 2 被校活塞有效面积的影响因素
Figure 2. Factors influencing the effective area of the piston gauge under calibration
图 6 被校活塞有效面积PDF图
Figure 6. PDF histogram of the effective area of the piston gauge under calibration
图 7 有效面积随累计次数的变化趋势
Figure 7. Variation of the calculated effective area versus iteration times
图 8 标准活塞有效面积按矩形分布时被测端压力与有效面积PDF图
Figure 8. PDF histograms of pressure at the test side and effective area of the piston gauge under calibration, assuming a rectangular distribution for the effective area of the reference piston gauge
图 9 标准活塞有效面积按三角分布时被测端压力与有效面积PDF图
Figure 9. PDF histograms of pressure at the test side and effective area of the piston gauge under calibration, assuming a triangular distribution for the effective area of the reference piston gauge
图 10 标准活塞有效面积按正态分布，假设不同不确定度占比时输出量的PDF图
Figure 10. PDF histograms of the output quantity with different percentages of uncertainty contribution by the effective area of the reference piston gauge, assuming a normal distribution
图 11 标准活塞有效面积按矩形分布，假设不同不确定度占比时输出量的PDF图
Figure 11. PDF histograms of the output quantity with different percentages of uncertainty contribution by the effective area of the reference piston gauge, assuming a rectangular distribution
表 1 各输入量概率分布
Table 1. Probability distribution assignment of all input quantities
不确定度分量 符号 概率密度分布 输入量估计值 标准不确定度
或相对不确定度灵敏度系数 相对不确定度
分量(ppm)标准端添加质量 m 正态分布 10.000158 kg 8×10−7 1 0.8 重力加速度 g 正态分布 9.801245 m/s2 2.0×10−7 1.0×10−2 2.0×10−3 空气密度 $ {\rho _a} $ 正态分布 1.18 kg/m3 2.34×10−4 kg/m3 2.1×10−6 m3/kg 4.91×10−4 标准端添加质量密度 $ \rho $ 正态分布 7984 kg/m3 5 kg/m3 1.9×10−8 m3/kg 9.5×10−2 标准端温度 t 正态分布 20.71 ℃ 0.045 ℃ 9.0×10−6 ℃−1 0.41 标准端热膨胀系数 $ \alpha $ 矩形分布 9.0×10−6 ℃−1 1.2×10−7 ℃−1 0.71 ℃ 8.5×10−2 压力差测量 $ \Delta p $ 正态分布 3862.96 Pa 2 Pa 1/p Pa−1 2/(p/MPa) 标准端活塞有效面积 $ A $ 正态分布 4.90075×10−6m2 1.5×10−5 1.0 15 标准端形变系数 $ \lambda $ 正态分布 7.5×10−7MPa−1 8.5×10−8MPa−1 p MPa (8.5p)×10−2 高度差 $ \Delta h $ 矩形分布 0 m 1×10−3 m 4.5×10−4 m−1 0.45 被测端添加质量 $ m' $ 正态分布 20.000371 kg 8×10−7 1.0 0.8 被测端添加质量密度 $ \rho ' $ 正态分布 7852 kg/m3 5 kg/m3 1.9×10−8 m3/kg 9.5×10−2 被测端温度 $ t' $ 正态分布 21.05 ℃ 0.045 ℃ 9.0×10−6 ℃ 0.41 被测端热膨胀系数 $ \alpha ' $ 矩形分布 9.0×10−6 ℃−1 1.2×10−7 ℃−1 1.05 ℃ 0.13 传压介质密度 $ {\rho _f} $ 正态分布 922.7 kg/m3 0.01 9.8×10−10 9.8×10−6 传压介质表面张力系数 $ \gamma $ 矩形分布 0.031N/m 0.0018N/m 2.11×10−6 m/N 3.8×10−3 合成相对标准不确定度为$ \sqrt {226.9 + 0.00723{p^2} + 4/{p^2}} $ (p单位为MPa) 
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表 2 各输入量引入的不确定度占比
Table 2. Percentage of uncertainty contribution by each input quantity
不确定度来源 不确定度贡献占比% 标准端添加质量 4.07 重力加速度 <0.01 空气密度 <0.01 标准端添加质量密度 0.47 标准端温度 2.06 标准端热膨胀系数 0.42 压力差测量 0.51 标准端活塞有效面积 76.31 标准端形变系数 8.64 高度差 0.06 被测端添加质量 4.07 被测端添加质量密度 0.49 被测端温度 2.06 被测端热膨胀系数 0.62 传压介质密度 <0.01 传压介质表面张力系数 0.22
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表 3 扩展不确定度比较
Table 3. Comparison of expanded uncertainties
MCM GUM 正态分布 30.4ppm 30.4ppm 三角分布 23.6ppm 24.8ppm 矩形分布 28.9ppm 35ppm
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